Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Divergence

La divergence d'un tenseur est le tenseur obtenu en contractant un des indices de la dérivée covariante avec l'indice de la dérivation.

Divergence d'un vecteur

Pour un champ vectoriel $𝐯$, on a

$\mathrm{\nabla }𝐯=v^i{}_{;i}=v^i{}_{,i}+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^i{v}^j$

Mettant a profit la formule de contraction ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^i=\frac{1}{\sqrt{\det g}}{\partial }_j\sqrt{\det g}$, on a

$\mathrm{\nabla }𝐯=\frac{1}{\sqrt{\det g}}{\partial }_j\left(\sqrt{\det g}{v}^j\right)$

Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement la divergence dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple la divergence en coordonnées cylindriques et la divergence en coordonnées sphériques.

Divergence d'un tenseur d'ordre 2

Suivant le même chemin que pour la divergence d'un champ de vecteurs, on écrit

$a^{ij}{}_{;j}=a^{ij}{}_{,j}+{\mathrm{\Gamma }}_{lm}^i{a}^{lm}+{\mathrm{\Gamma }}_{lm}^l{a}^{im}=\frac{1}{\sqrt{\det g}}{\partial }_k\left(\sqrt{\det g}{a}^{ik}\right)+{\mathrm{\Gamma }}_{lm}^i{a}^{lm}$

Divergence d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2

Dans le cas d'un tenseur antisymétrique, on a

$a^{ij}{}_{;j}=-a^{ji}{}_{;j}=\frac{1}{\sqrt{\det g}}{\partial }_k\left(\sqrt{\det g}{a}^{ik}\right)$

En effet, le terme ${\mathrm{\Gamma }}_{lm}^i{a}^{lm}$ est nul puisque ${\mathrm{\Gamma }}_{lm}^i{a}^{lm}=-{\mathrm{\Gamma }}_{lm}^i{a}^{ml}=-{\mathrm{\Gamma }}_{ml}^i{a}^{ml}=-{\mathrm{\Gamma }}_{lm}^i{a}^{lm}$.

Remarques

• En écriture quadridimensionnelle, les équations de Maxwell mettent en jeu la divergence du tenseur de champ électromagnétique et de son dual, qui sont des tenseurs antisymétriques d'ordre 2.