Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Divergence

En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut r et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯=\frac{1}{r}{\partial }_i\left(r{v}^i\right)$.

Dans la base naturelle, on a

$\begin{array}{ccccccc}𝐯& =& v^r{𝐞}_r& +& v^{\varphi }{𝐞}_{\varphi }& +& v^z{𝐞}_z\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐯& =& (\frac{1}{r}+\frac{\partial }{\partial r})v^r& +& \frac{\partial }{\partial \varphi }{v}^{\varphi }& +& \frac{\partial }{\partial z}{v}^z\end{array}$

et donc dans la base orthonormée $({𝐞}_r,\frac{{𝐞}_{\varphi }}{r},{𝐞}_z)$:

$\begin{array}{ccccccc}𝐯& =& v^r{𝐞}_r& +& \left\{r{v}^{\varphi }\right\}\left\{\frac{{𝐞}_{\varphi }}{r}\right\}& +& v^z{𝐞}_z\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐯& =& (\frac{1}{r}+\frac{\partial }{\partial r})v^r& +& \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \varphi }\left\{r{v}^{\varphi }\right\}& +& \frac{\partial }{\partial z}{v}^z\end{array}$