Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Divergence

En coordonnées sphériques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut $r\sin \theta$ et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit $(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯{)}^i=\frac{1}{r^2\sin \theta }{\partial }_i(r^2\sin \theta v^i)$.

Dans la base naturelle, on a

$\begin{array}{ccccccc}𝐯& =& v^r{𝐞}_r& +& v^{\theta }{𝐞}_{\theta }& +& v^{\varphi }{𝐞}_{\varphi }\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐯& =& (\frac{2}{r}+\frac{\partial }{\partial r})v^r& +& (\frac{1}{\tan \theta }+\frac{\partial }{\partial \theta })v^{\theta }& +& \frac{\partial }{\partial \varphi }{v}^{\varphi }\end{array}$

et donc dans la base orthonormée $({𝐞}_r,\frac{{𝐞}_{\theta }}{r},\frac{{𝐞}_{\varphi }}{r\sin \theta })$ :

$\begin{array}{ccccccc}𝐯& =& v^r{𝐞}_r& +& \left\{r{v}^{\theta }\right\}\left\{\frac{{𝐞}_{\theta }}{r}\right\}& +& \{r\sin \theta v^{\varphi }\}\left\{\frac{{𝐞}_{\varphi }}{r\sin \theta }\right\}\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐯& =& (\frac{2}{r}+\frac{\partial }{\partial r})v^r& +& (\frac{1}{r\tan \theta }+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta })\left\{r{v}^{\theta }\right\}& +& \frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\left\{r\sin \theta v^{\varphi }\right\}\end{array}$