Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Gradient

Si f est un champ scalaire indépendant du système de coordonnées, c'est un tenseur d'ordre 0, et sa dérivée partielle est égale à sa dérivée covariante : ${\left(\mathrm{\nabla }f\right)}_i={\partial }_{i}f=f_{,i}=f_{;i}$, aussi appelée gradient de f. Ce vecteur est habituellement exprimé en composantes contravariantes

${\left(\mathrm{\nabla }f\right)}^i=g^{ij}{f}_{;j}$

Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le gradient dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple le gradient en coordonnées cylindriques et le gradient en coordonnées sphériques.

• Remarques

• 1. Le gradient généralisé d'un tenseur quelconque peut être défini simplement comme sa dérivée covariante. Cette opération ajoute un indice au tenseur.