Interaction quantique/Notions élémentaires/Opérateur d'évolution/Développement perturbatif

Pour un hamiltonien $H (t) = H_{0} + V (t)$ , l'opérateur d'évolution peut se développer en série

U (t_{f}, t_{i}) = U_{0} (t_{f}, t_{i}) + \sum_{n = 1}^{\infty} U^{(n)} (t_{f}, t_{i})

avec

U_{0} (t_{f}, t_{i}) = e^{- i H_{0} \times (t_{f}, t_{i}) / ℏ}

et

\begin{matrix} U^{(n)} (t_{f}, t_{i}) & = & {(\frac{1}{i ℏ})}^{n} \int_{t_{i} \leq θ_{1} \leq θ_{2} \leq \dots \leq θ_{n} \leq t_{f}} d θ_{1} d θ_{2} \dots d θ_{n} \times \\ \times & U_{0} (t_{f}, θ_{n}) V (θ_{n}) U_{0} (θ_{n}, θ_{n - 1}) \dots V (θ_{2}) U_{0} (θ_{2}, θ_{1}) V (θ_{1}) U_{0} (θ_{1}, t_{i}) \end{matrix}

Ce dernier terme correspond à $n + 1$ opérateurs d'évolution non perturbés séparés par des perturbations $V$ .

Dans le point de vue d'interaction, l'opérateur $U_{0}$ devient l'opérateur unité, et l'on a

\tilde{U} (t_{f}, t_{i}) = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {\tilde{U}}^{(n)} (t_{f}, t_{i})

avec

{\tilde{U}}^{(n)} (t_{f}, t_{i}) = {(\frac{1}{i ℏ})}^{n} \int_{t_{i} \leq θ_{1} \leq θ_{2} \leq \dots \leq θ_{n} \leq t_{f}} d θ_{1} d θ_{2} \dots d θ_{n} \times \tilde{V} (θ_{n}) \dots \tilde{V} (θ_{2}) \tilde{V} (θ_{1})

Matriciellemement,

{\tilde{U}}_{f i} = δ_{f i} + \sum_{n = 1}^{\infty} {\tilde{U}}_{f i}^{(n)}

avec

{\tilde{U}}_{f i} = ⟨ ϕ_{f} | \tilde{U} (t_{f}, t_{i}) | ϕ_{i} ⟩

et

{\tilde{U}}_{f i}^{(n)} = ⟨ ϕ_{f} | {\tilde{U}}^{(n)} (t_{f}, t_{i}) | ϕ_{i} ⟩

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