Interaction quantique/Notions élémentaires/Opérateur d'évolution/Développement perturbatif

Pour un hamiltonien $H(t)=H_0+V(t)$, l'opérateur d'évolution peut se développer en série

$U(t_f,t_i)=U_0(t_f,t_i)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}^{(n)}(t_f,t_i)$

avec

$U_0(t_f,t_i)=e^{-i{H}_0\times (t_f,t_i)/\hslash }$

et

$\begin{array}{ccc}{U}^{(n)}(t_f,t_i)& =& {\left(\frac{1}{i\hslash }\right)}^n\underset{t_i\le {\theta }_1\le {\theta }_2\le \dots \le {\theta }_n\le t_f}{\int }d{\theta }_{1}d{\theta }_2\dots d{\theta }_n\times \\ & \times & U_0(t_f,{\theta }_n)V({\theta }_n)U_0({\theta }_n,{\theta }_{n-1})\dots V({\theta }_2)U_0({\theta }_2,{\theta }_1)V({\theta }_1)U_0({\theta }_1,t_i)\end{array}$

Ce dernier terme correspond à $n+1$ opérateurs d'évolution non perturbés séparés par des perturbations $V$.

Dans le point de vue d'interaction, l'opérateur $U_0$ devient l'opérateur unité, et l'on a

$\tilde{U}(t_f,t_i)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\tilde{U}}^{(n)}(t_f,t_i)$

avec

${\tilde{U}}^{(n)}(t_f,t_i)={\left(\frac{1}{i\hslash }\right)}^n\underset{t_i\le {\theta }_1\le {\theta }_2\le \dots \le {\theta }_n\le t_f}{\int }d{\theta }_{1}d{\theta }_2\dots d{\theta }_n\times \tilde{V}({\theta }_n)\dots \tilde{V}({\theta }_2)\tilde{V}({\theta }_1)$

Matriciellemement,

${\tilde{U}}_{fi}={\delta }_{fi}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\tilde{U}}_{fi}^{(n)}$

avec

${\tilde{U}}_{fi}=⟨{\varphi }_f|\tilde{U}(t_f,t_i)|{\varphi }_i⟩$

et

${\tilde{U}}_{fi}^{(n)}=⟨{\varphi }_f|{\tilde{U}}^{(n)}(t_f,t_i)|{\varphi }_i⟩$