Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Référentiel tournant I

Changement de coordonnées

Partant d'un référentiel galiléen plan $t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime }$, construisons un référentiel tournant avec la fréquence angulaire $\omega$. La transformation s'écrit

$\begin{array}{ccc}{t}^{\prime }& =& t\\ x^{\prime }& =& x\cos \omega t-y\sin \omega t\\ y^{\prime }& =& x\sin \omega t+y\cos \omega t\end{array}$

Jacobien

$\begin{array}{ccccc}{\theta }_t^{t^{\prime }}& =& \frac{\partial t^{\prime }}{\partial t}& =& 1\\ {\theta }_t^{x^{\prime }}& =& \frac{\partial x^{\prime }}{\partial t}& =& -\omega x\sin \omega t-\omega y\cos \omega t\\ {\theta }_x^{x^{\prime }}& =& \frac{\partial x^{\prime }}{\partial x}& =& \cos \omega t\\ {\theta }_y^{x^{\prime }}& =& \frac{\partial x^{\prime }}{\partial y}& =& -\sin \omega t\\ {\theta }_t^{y^{\prime }}& =& \frac{\partial y^{\prime }}{\partial t}& =& \omega x\cos \omega t-\omega y\sin \omega t\\ {\theta }_x^{y^{\prime }}& =& \frac{\partial y^{\prime }}{\partial x}& =& \sin \omega t\\ {\theta }_y^{y^{\prime }}& =& \frac{\partial y^{\prime }}{\partial y}& =& \cos \omega t\end{array}$

Tenseur métrique

De la relation $-c^{2}dt{\text{'}}^2+dx{\text{'}}^2+dy{\text{'}}^2=g_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$ est facile d'obtenir le tenseur métrique dans le référentiel tournant. Il n'est pas diagonal :

$\begin{array}{ccc}{g}_{tt}& =& -c^2+{\omega }^2(x^2+y^2)\\ g_{tx}=g_{xt}& =& -\omega y\\ g_{ty}=g_{yt}& =& \omega x\\ g_{xx}& =& 1\\ g_{yy}& =& 1\end{array}$

La formule $g_{ij}=g{\text{'}}_{kl}{\theta }_i^k{\theta }_j^l$ avec $g_{tt}=-c^2,g_{xx}=1,g_{yy}=1$, conduit au même résultat.

Déterminant du tenseur métrique

$detg=-c^2$

Matrice inverse du tenseur métrique

$\begin{array}{ccc}{g}^{tt}& =& -c^{-2}\\ g^{tx}=g^{xt}& =& -c^{-2}\omega y\\ g^{ty}=g^{yt}& =& c^{-2}\omega x\\ g^{xy}=g^{yx}& =& c^{-2}{\omega }^{2}xy\\ g^{xx}& =& 1-c^{-2}{\omega }^2{y}^2\\ g^{yy}& =& 1-c^{-2}{\omega }^2{x}^2\end{array}$

Dérivées partielles du tenseur métrique

$\begin{array}{ccc}{g}_{tt,x}& =& 2{\omega }^{2}x\\ g_{tt,y}& =& 2{\omega }^{2}y\\ g_{tx,y}=g_{xt,y}& =& -\omega \\ g_{ty,x}=g_{yt,x}& =& \omega \end{array}$

Symbole de Christoffel

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\Gamma }}_{t|tx}={\mathrm{\Gamma }}_{t|xt}& =& {\omega }^{2}x\\ {\mathrm{\Gamma }}_{x|tt}=& =& -{\omega }^{2}x\\ {\mathrm{\Gamma }}_{t|ty}={\mathrm{\Gamma }}_{t|yt}& =& {\omega }^{2}y\\ {\mathrm{\Gamma }}_{y|tt}& =& -{\omega }^{2}y\\ {\mathrm{\Gamma }}_{x|ty}={\mathrm{\Gamma }}_{x|yt}& =& -\omega \\ {\mathrm{\Gamma }}_{y|tx}={\mathrm{\Gamma }}_{y|xt}& =& \omega \end{array}$

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\Gamma }}_{tt}^x& =& -{\omega }^{2}x\\ {\mathrm{\Gamma }}_{tt}^y& =& -{\omega }^{2}y\\ {\mathrm{\Gamma }}_{ty}^x={\mathrm{\Gamma }}_{yt}^x& =& -\omega \\ {\mathrm{\Gamma }}_{tx}^y={\mathrm{\Gamma }}_{xt}^y& =& \omega \end{array}$

Équation géodésique

$\begin{array}{ccc}\ddot{x}& =& {\omega }^{2}x{\dot{t}}^2+2\omega \dot{y}\dot{t}\\ \ddot{y}& =& {\omega }^{2}y{\dot{t}}^2-2\omega \dot{x}\dot{t}\end{array}$

Pour les vitesses petites devant la vitesse de la lumière, on a $d{s}^2\approx -c^{2}d{t}^2$ et on peut écrire

$\begin{array}{ccc}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}& \approx & {\omega }^{2}x+2\omega \dot{y}\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}& \approx & {\omega }^{2}y-2\omega \dot{x}\end{array}$

On retrouve les termes classiques d'accélération centrifuge et d'accélération de Coriolis.

Tenseur de courbure

Nul. Le calcul peut se faire à partir de la formule ou plus simplement en remarquant que le tenseur de courbure de l'espace pseudo-euclidien de métrique constante $\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(-c^2,1,1)$ est nul, et reste nul dans toute autre système de coordonnées.

Tenseur de Ricci

$0$

Scalaire de Ricci

$0$