Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de Ricci

Le tenseur de Ricci est obtenu en contractant le tenseur de courbure entre un indice de la première paire et un indice de la seconde paire :

$R_{i k} = R_{i}^{m}_{k m} = g^{j l} R_{i j k l}$

Grâce à la symétrie par paires du tenseur de courbure, le tenseur de Ricci est symétrique.

Le tenseur de Ricci complètement contracté est un scalaire :

$R = g^{i j} R_{i j}$

La divergence du tenseur d'Einstein $R^{i j} - \frac{1}{2} g^{i j} R$ est nulle :

${[R^{i j} - \frac{1}{2} g^{i j} R]}_{; j} = 0$

Cette équation fondamentale se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique.

C'est en identifiant le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.

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