Interaction quantique/Notions élémentaires/Opérateur d'évolution/Équation intégrale/Démonstration

Il s'agit de vérifier l'équation d'évolution $i ℏ \frac{d}{d t} U (t, t_{i}) = H (t) U (t, t_{i})$ avec $H (t) = H_{0} + V (t)$ pour un opérateur vérifiant

U (t, t_{i}) = U_{0} (t, t_{i}) + \frac{1}{i ℏ} \int_{t_{i}}^{t} d θ U_{0} (t, θ) V (θ) U (θ, t_{i})

.

Sachant que

U_{0} (t, t_{i}) = e^{- i H_{0} \times (t - t_{i}) / ℏ}

,

on a

i ℏ \frac{d}{d t} U_{0} (t, t_{i}) = H_{0} U_{0} (t, t_{i})

et

\begin{matrix} i ℏ \frac{d}{d t} U (t, t_{i}) & = & i ℏ \frac{d}{d t} U_{0} (t, t_{i}) + \frac{d}{d t} \int_{t_{i}}^{t} d θ U_{0} (t, θ) V (θ) U (θ, t_{i}) \\ = & i ℏ \frac{d}{d t} U_{0} (t, t_{i}) + \frac{d}{d t} (e^{- i H_{0} t / ℏ} \int_{t_{i}}^{t} d θ e^{i H_{0} θ / ℏ} V (θ) U (θ, t_{i})) \\ = & H_{0} U_{0} (t, t_{i}) + H_{0} \int_{t_{i}}^{t} d θ U_{0} (t, θ) V (θ) U (θ, t_{i}) + i ℏ V (t) U (t, t_{i}) \\ = & H_{0} U_{0} (t, t_{i}) + \frac{1}{i ℏ} H_{0} \int_{t_{i}}^{t} d θ U_{0} (t, θ) V (θ) U (θ, t_{i}) + V (t) U (t, t_{i}) \\ = & H_{0} U (t, t_{i}) + V (t) U (t, t_{i}) \\ = & H (t) U (t, t_{i}) \end{matrix}

c.q.f.d.

La condition supplémentaire U(t, t) est évidemment vérifiée.

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