Exercices de mathématiques/Calculs de dérivées

Modèle:ExoMath Le calcul de dérivées s'étend de la première jusque dans le supérieur. Pour les étudiants québécois ; ces exercices font référence à un niveau collégial, c'est-à-dire le premier cours de calcul au CÉGEP.

Les exercices présentés ici sont groupés par ordre d'accessibilité. Certains exercices auront une solution complète et d'autres auront une solution plus brève, tout dépendant. Par contre, chaque étape de la solution sera justifiée, du moins entre parenthèses à droite de l'étape en question.

Il est à noter également que pour la plupart des problèmes, au lieu de spécifier à chaque fois la formule de dérivation utilisée, nous préciserons un numéro de formule, correspondant à la table établie sur cette page.

Également, nous utiliserons autant la notion $f(x)$ et $f^{\prime }(x)$ que $y$ et $y^{\prime }$, pour familiariser le lecteur à toutes les situations.

Dérivées de fonctions polynomiales

float

• Exercice 1

$f(x)=3x^4-5x^3+4x^2+2x-5$. Calculer $f^{\prime }(x)$.

• Exercice 2

$f(x)=(2x^2+3{)}^2(4x-9)$. Calculer $f^{\prime }(x)$.

• Exercice 3

$y=(x^2+8)(x+5)$. Calculer $y^{\prime }$.

• Exercice 4

$f(x)=(3x+1{)}^7(1-2x{)}^3$ . Calculer $f^{\prime }(x)$.

• Exercice 4 (bis)

L'exercice précédent se décline à l'infini en changeant les fonctions affines et les exposants.

Montrer que si $f(x)=(ax+b{)}^n(cx+d{)}^m$ alors $f^{\prime }(x)=ac(n+m)(ax+b{)}^{n-1}(cx+d{)}^{m-1}(x-r)$ où r est la moyenne pondérée des racines de $ax+b$ et $cx+d$ affectées des coefficients m et n.

Dérivées de fonctions rationnelles

• Exercice 1

$f(x)=\frac{3x-2}{x+5}$. Calculer $f^{\prime }(x)$.

• Exercice 1 (bis)

L'exercice précédent peut se développer à l'infini en changeant les coefficients du numérateur et du dénominateur

Prouver que si $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ alors $f^{\prime }(x)=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}$.

• Exercice 2

$f(t)=16t^{-3}+4t^{-2}+15$. Calculer $f^{\prime }(t)$.

• Exercice 3

$f(x)=\frac{x^2+3x-5}{x+1}$. Calculer $f^{\prime }(x)$.

• Exercice 3 (bis)

L'exercice précédent se décline à l'infini en modifiant le polynôme du second degré du numérateur et le polynôme du premier degré du dénominateur.

Montrer que, si la forme réduite de f est $f(x)=ax+b+\frac{c}{x+d}$, alors $f^{\prime }(x)=\frac{a(x+d{)}^2-c}{(x+d{)}^2}$

Dérivées de fonctions avec racines

Modèle:À faire √[(3x²-2x)+(4x³+5)]

Dérivées de fonctions trigonométriques

• Exercice 1 (Cegep)

$f(x)=\sec (3x^4-x+2)$. Calculer $f^{\prime }(x)$.

• Exercice 2 (Cégep ou terminale)

$y={\tan }^3(3x)$. Calculer $y^{\prime }$.

• Exercice 3 (Cégep ou terminale)

$f(x)=\frac{\cos 2x}{{\sin }^2(x+1)}$. Calculer $f^{\prime }(x)$.

Dérivées de fonctions logarithmiques et exponentielles

• Exercice 1 (Cégep ou terminale)

$f(x)={\log }_7(x^3+x^2-1)$. Calculer $f^{\prime }(x)$.

• Exercice 2 (Cégep ou terminale)

$f(\theta )=3^{{\theta }^2-1}$. Calculer $f^{\prime }(\theta )$.

• Exercice 3 (Cégep ou terminale)

$y=e^x\ln x$. Calculer $y^{\prime }$.

Autres dérivées

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