Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Transformation contraco

On transforme les composantes contravariantes d'un tenseur en composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :

$x_i=\sum _j{g}_{ij}{x}^j$

Étant donné que $g^{ij}$ est la matrice inverse de $g_{ij}$, on a

$x^i=\sum _j{g}^{ij}{x}_j$

• Remarques
  1. Avec la convention d'Einstein, on sous-entend le symbole $\sum$ dès qu'un indice figure à la fois en haut et en bas. On écrit ainsi $x_i=g_{ij}{x}^j$, et $x^i=g^{ij}{x}_j$.
  2. Il y a une convention plus radicale utilisée par certains auteurs suivant laquelle on omet également le tenseur métrique dès lors qu'il intervient dans une contraction. Ainsi, à la place de $a^i{b}_i=g^{ij}{a}_i{b}_j$, on écrit $a_i{b}_i$.
  3. La transformation contraco peut être appliquée à plusieurs indices d'un tenseur d'ordre quelconque. Par exemple $a^{ij}=g^{ik}{g}^{jl}{a}_{kl}$.