Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Pseudo-contraction de la dérivée partielle/Démonstration

La matrice $g^{i j}$ est l'inverse de la matrice du tenseur métrique $g_{i j}$ : $g^{i j} g_{j k} = δ_{k}^{i}$ . Profitant de la symétrie du tenseur métrique, on a $g^{i j} g_{j i} = δ_{i}^{i}$ . Or la contraction $g_{i}^{i} = δ_{i}^{i}$ donne un entier, la dimension de l'espace. C'est donc une constante. Ainsi $g^{i j} d g_{i j} = - g_{i j} d g^{i j}$ . D'où l'expression cherchée.