Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Matrice inverse/Démonstration

On a défini (Cf. transformation contraco) le tenseur métrique inverse ${(g^{- 1})}^{i j}$ comme étant l'inverse de $g_{i j}$ . En faisant intervenir deux fois le tenseur métrique, on obtient son expression covariante ${(g^{- 1})}_{i j} = g_{i k} g_{j l} {(g^{- 1})}^{k l} = g_{i k} g_{j l} {(g^{- 1})}^{l k} = g_{i k} δ_{j}^{k} = g_{i j} .$ Le tenseur métrique est donc son propre inverse, c.q.f.d.