Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Rotationnel

Tenseur rotationnel

Étant donné un champ de vecteurs covariants $a_i$ dans un espace de dimension quelconque, la dérivée covariante $D_j{a}_i=a_{i;j}=a_{i,j}-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{a}_k$ est un tenseur. Le tenseur rotationnel, défini comme ${\left[\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}a\right]}_{ij}=a_{i;j}-a_{j;i}$ est par construction un tenseur antisymétrique.

Expression à partir de la dérivée simple

La symétrie ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k={\mathrm{\Gamma }}_{ji}^k$ du symbole de Christoffel permet d'écrire le tenseur rotationnel à partir de la dérivée simple : ${\left[\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}a\right]}_{ij}=a_{i,j}-a_{j,i}$.

Rotationnel en dimension 3

En dimension 3, le tenseur dualiseur permet de construire le vecteur dual d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2. Le rotationnel d'un champ de vecteurs $𝐚$tridimensionnel est défini comme le dual du tenseur rotationnel : ${\left[\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐚\right]}^{\alpha }=\frac{1}{2}{*}^{\alpha \lambda \mu }{\left[\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}a\right]}_{\lambda \mu }$.

Partant d'un champ de vecteurs en coordonnées contravariantes $a^{\nu }$, mettant à profit l'antisymétrie du tenseur dualiseur, la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique ${\gamma }_{\mu \nu }$ ainsi que sa symétrie, on trouve ${\left[\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐚\right]}^{\alpha }={*}^{\alpha \lambda \mu }{\gamma }_{\mu \nu }{a}^{\nu }{}_{;\lambda }$.