Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique/Paramétrisation canonique

Un système de coordonnées étant donné, si l'on choisit de paramètrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique), l'équation géodésique devient

${\ddot{x}}^k=g^{kl}(\frac{1}{2}{g}_{ij,l}-g_{il,j}){\dot{x}}^i{\dot{x}}^j$

Le point supérieur est la dérivée totale par rapport au paramètre canonique. Démonstration.