Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique

On obtient l'équation d'une géodésique en écrivant que sa longueur est minimale.

Un système de coordonnées $x^i$ étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale $ds=\sqrt{[-]g_{ij}d{x}^{i}d{x}^j}$. Le signe optionnel $[-]$ est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable $\tau$, on écrit $ds=\sqrt{[-]g_{ij}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j}d\tau$, où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à $\tau$. La longueur de la trajectoire est donc la somme

$\int \sqrt{[-]g_{ij}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j}d\tau$

En utilisant la méthode de Lagrange pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

$\frac{\partial \dot{s}}{\partial x^l}-\frac{d}{d\tau }\left(\frac{\partial \dot{s}}{\partial {\dot{x}}^l}\right)=0$

avec

$\dot{s}=\sqrt{[-]g_{ij}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j}$