Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Symbole de Christoffel

Les seuls termes non constants du tenseur métrique en coordonnées sphériques sont $g_{\theta \theta }=r^2$, $g_{\varphi \varphi }=r^2{\sin }^2\theta$, et l'on a $g_{\theta \theta ,r}=2r$, $g_{\varphi \varphi ,r}=2r{\sin }^2$, $g_{\varphi \varphi ,\theta }=2r^2\cos \theta \sin \theta$. Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\Gamma }}_{\theta \theta }^r& =& -r\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\varphi \varphi }^r& =& -r{\sin }^2\theta \\ {\mathrm{\Gamma }}_{r\theta }^{\theta }={\mathrm{\Gamma }}_{\theta r}^{\theta }& =& r^{-1}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\varphi \varphi }^{\theta }& =& -\cos \theta \sin \theta \\ {\mathrm{\Gamma }}_{r\varphi }^{\varphi }={\mathrm{\Gamma }}_{\varphi r}^{\varphi }& =& r^{-1}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\varphi \theta }^{\varphi }={\mathrm{\Gamma }}_{\theta \varphi }^{\varphi }& =& \cot \theta \end{array}$