Analyse/Dérivation

Définition

Dérivée

Soit une fonction $f$, à valeurs dans $𝕂$, définie sur un voisinage de $x_0$. On note $\mathrm{\Delta }x=x-x_o$ la variation autour du point $x_o$ et $\mathrm{\Delta }f=f(x)-f(x_o)$ la variation correspondante de la fonction $f$.

Définition 1

On dit qu'une fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si la limite

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

existe. Dans ce cas, on appelle cette limite dérivée de $f$ en $x_0$ et on la note $f^{\prime }(x_0)$.

Définition 2

On dit que $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$ et on note $f^{\prime }$ la fonction dérivée $x\mapsto f^{\prime }(x)$. La dérivée de $f^{\prime }$, si elle existe, est notée $f^{\prime \prime }$, et par récurrence, on définit la dérivée nième de $f$, notée $f^{(n)}$.

Attention à ne pas confondre avec la puissance nième de $f$, notée $f^n$, avec la dérivée $n$ième notée $f^{(n)}$.

La définition suivante est souvent utile:

Définition 3

On dit que $f$ est $n$ fois dérivable sur un intervalle $I$ si elle est $n$ fois dérivable en tout point de $I$; on dit que

$f\in C^n(I)$ si $f,f^{\prime },...$

sont continues sur $I$.

Donc $f\in C^0(I)$ signifie simplement que $f$ est continue sur $I$. On peut aussi parler de la classe $C^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$, avec les polynômes, l'exponentielle, le sinus, le cosinus et la gaussienne $x\mapsto e^{-a{x}^2}$ avec $a\in R_{\mathbb{+}}^{\mathbb{*}}$.

Interprétation

Interprétation géométrique

Si $f$ est à valeurs réelles et si le nombre $f^{\prime }(x_0)$ existe, il est égal à la pente de la tangente à $f(x)$ au point $x_0$. L'équation cartésienne de la droite tangente à $f(x)$ en $x_0$ s'écrit $y=f(x_0)+(x-x_0)*f^{\prime }(x_0)$. À noter que si $f^{\prime }(x_0)=\pm \mathrm{\infty }$ la tangente à la courbe existe encore, mais elle est verticale, et d'équation $x=x_0$.

Interprétation mécanique

Soit $x(t)$ l'équation horaire d'un point matériel selon l'axe $Ox$ en fonction du temps $t$. La limite $\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}$ est notée $\dot{x}(t_o)$ et la fonction dérivée $t\mapsto \dot{x}(t)$ est la vitesse du point, à l'instant $t$, selon l'axe $Ox$. L'accélération à l'instant $t$, selon ce même axe, est la dérivée seconde $\ddot{x}(t)$. La loi fondamentale de la dynamique newtonienne s'exprime selon

$m\ddot{x}(t)=F_x$,

où $m$ est la masse de la particule considérée et $F_x$ la composante, selon l'axe $Ox$, de la force qui s'exerce sur la particule, qui peut dépendre de $x,\dot{x},...$. On obtient des équations différentielles que l'on ne sait résoudre analytiquement que pour des forces $F_x$ assez simples.

Interprétation chimique

On considère un échantillon de matériau radio-actif qui contient $N(t)$ atomes à l'instant $N(t)$. La loi fondamentale qui régit l'évolution temporelle du phénomène de désintégration est la suivante: le taux de variation instantanée du nombre d'atomes est une constante négative, dont la valeur absolue est notée $\lambda$ (elle varie selon la nature de l'atome). La variation instantanée du nombre d'atomes est la dérivée $\dot{N}(t)$ et le taux de variation est $\frac{\dot{N}}{N}$. On a donc pour loi de variation temporelle:

$\frac{\dot{N}}{N}=-\lambda \Rightarrow \dot{N}(t)=\lambda N(t)$ .

On obtient encore une équation différentielle; le lecteur peut vérifier que si $N_0$ est le nombre d'atomes initial à $t=0$, au temps $t$ il n'en restera plus que $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$.

Continuité et Dérivabilité

Théorème

Toute fonction $f$ dérivable en $x_0$ est continue en ce point.

Attention! La réciproque est fausse. Par exemple la fonction $x\mapsto \left|x\right|$ est continue en $x=0$, mais elle n'est pas dérivable en $x=0$. Ici encore, prudence: il existe des fonctions continues sur $ℝ$ qui ne sont dérivables en aucun point! On ne peut pas toujours "faire un dessin".

Calcul des dérivées

• /Exemples de calcul de dérivée/
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