Algèbre/Addition Propriétés

Prérequis

Il est indispensable de lire l'article sur entiers naturels et celui sur la démonstration du théorème de récurrence.

Composition Interne

Définition

$\mathrm{\forall }(a,b)\in {\mathbb{N}}^2=>a+b\in \mathbb{N}$

Démonstration

Nous allons démontrer que $\mathrm{\forall }(a,b)\in {\mathbb{N}}^2$ on a $a+b\in \mathbb{N}$

Fixons $a$ et recherchons l'ensemble $𝕄$ des b qui respectent $a+b\in \mathbb{N}$

$a+0=a$ donc on a $0\in 𝕄$

de plus

$\mathrm{\forall }b\in 𝕄=>a+b\in \mathbb{N}=>S(a+b)\in \mathbb{N}=>a+S(b)\in \mathbb{N}=>S(b)\in \mathbb{N}$

Les conditions du théorème de récurrence sont respectées sur $𝕄$. On peut donc en déduire $\mathrm{\forall }(a,b)\in {\mathbb{N}}^2=>a+b\in \mathbb{N}$