Algèbre/Démontrer le théorème de récurrence

Enoncé

Soit P une proposition dans $\mathbb{N}$. On a :

$\begin{array}{ccc}P(0)& & \\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}P(n)& \Rightarrow & P(n^{+})\end{array}]\Rightarrow \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ on a $P(n)$

Démonstration

Soit P une proposition et un ensemble $𝒫=\{n\in \mathbb{N}/P(n)\}$

On a : $P(0)\Rightarrow 0\in 𝒫$

et $\mathrm{\forall }n\in 𝒫\Rightarrow P(n)\Rightarrow P(n^{+})\Rightarrow n^{+}\in 𝒫$ On peut dire que $𝒫$ vérifie l'axiome de récurrence et que $𝒫=\mathbb{N}$.

On a donc démontré que :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},P(n)$ est vrai

Ce théorème est le théorème de récurrence