Interaction quantique/Notions élémentaires/Opérateur d'évolution/Équation intégrale/Démonstration

Il s'agit de vérifier l'équation d'évolution $i\hslash \frac{d}{dt}U(t,t_i)=H(t)U(t,t_i)$ avec $H(t)=H_0+V(t)$ pour un opérateur vérifiant

$U(t,t_i)=U_0(t,t_i)+\frac{1}{i\hslash }\underset{t_i}{\overset{t}{\int }}d\theta U_0(t,\theta )V(\theta )U(\theta ,t_i)$.

Sachant que

$U_0(t,t_i)=e^{-i{H}_0\times (t-t_i)/\hslash }$,

on a

$i\hslash \frac{d}{dt}{U}_0(t,t_i)=H_0{U}_0(t,t_i)$

et

$\begin{array}{ccc}i\hslash \frac{d}{dt}U(t,t_i)& =& i\hslash \frac{d}{dt}{U}_0(t,t_i)+\frac{d}{dt}\underset{t_i}{\overset{t}{\int }}d\theta U_0(t,\theta )V(\theta )U(\theta ,t_i)\\ & =& i\hslash \frac{d}{dt}{U}_0(t,t_i)+\frac{d}{dt}(e^{-i{H}_{0}t/\hslash }\underset{t_i}{\overset{t}{\int }}d\theta e^{i{H}_0\theta /\hslash }V(\theta )U(\theta ,t_i))\\ & =& H_0{U}_0(t,t_i)+H_0\underset{t_i}{\overset{t}{\int }}d\theta U_0(t,\theta )V(\theta )U(\theta ,t_i)+i\hslash V(t)U(t,t_i)\\ & =& H_0{U}_0(t,t_i)+\frac{1}{i\hslash }{H}_0\underset{t_i}{\overset{t}{\int }}d\theta U_0(t,\theta )V(\theta )U(\theta ,t_i)+V(t)U(t,t_i)\\ & =& H_{0}U(t,t_i)+V(t)U(t,t_i)\\ & =& H(t)U(t,t_i)\end{array}$

c.q.f.d.

La condition supplémentaire U(t, t) est évidemment vérifiée.