Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Fonction du tenseur métrique/Démonstration

Partant de l'expression de la dérivée partielle du tenseur métrique, on calcule, en profitant de la symétrie du symbole de Christoffel

$g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l}=g_{jm}{\mathrm{\Gamma }}_{li}^m+g_{lm}{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^m+g_{im}{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^m+g_{lm}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^m-g_{jm}{\mathrm{\Gamma }}_{il}^m-g_{im}{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^m=2g_{lm}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^m$

Le tenseur métrique étant son propre inverse ($g^{kl}{g}_{lm}={\delta }_m^k$), on obtient le résultat cherché ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=\frac{1}{2}{g}^{kl}(g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l})$ en multipliant par $\frac{1}{2}{g}^{kl}$.