Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur métrique

En coordonnées sphériques $(r,\theta ,\varphi )$, où $\varphi$ est l'angle azimutal et $\theta \in [0,\pi ]$ est la colatitude, le carré d'un élément de longueur vaut $d{l}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$ et donc le tenseur métrique vaut

$g_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right)$

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut $\sqrt{\det g}=r^2\sin \theta$.

L'inverse du tenseur métrique vaut

$g^{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^{-2}& 0\\ 0& 0& r^{-2}{\sin }^{-2}\theta & \end{array}\right)$

• Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle $({𝐞}_r,{𝐞}_{\theta },{𝐞}_{\varphi })$ est orthogonale et la base orthonormée s'écrit $({𝐞}_r,\frac{{𝐞}_{\theta }}{r},\frac{{𝐞}_{\varphi }}{r\sin \theta })$.