Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel

Le symbole de Christoffel est défini à partir de la dérivée partielle des vecteurs de la base naturelle :

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=\left({\partial }_i{𝐞}_j\right){𝐞}^k={𝐞}_{j,i}{𝐞}^k$

Étant donné la définition de la base naturelle, on peut écrire ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=\left({\partial }_i{\partial }_j\mathrm{l}\right){𝐞}^k$ pour mettre en évidence la symétrie du symbole de Christoffel par échange des indices bas :

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k={\mathrm{\Gamma }}_{ji}^k$

• Remarques
  1. Le symbole de Christoffel est aussi appelé connexion, avec un signe parfois différent.
  2. Ce symbole n'est pas un tenseur à cause du second terme de la formule de transformation. On définit néanmoins le symbole ${\mathrm{\Gamma }}_{l|ij}=g_{lk}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$
  3. Ce symbole permet de calculer le tenseur dérivée covariante d'un tenseur.

• Voir aussi
  1. Symbole de Christoffel en coordonnées cylindriques.
  2. Symbole de Christoffel en Coordonnées sphériques.