Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction

La contraction du symbole de Christoffel s'exprime à partir de la dérivée partielle du déterminant du tenseur métrique.

$Γ_{i j}^{i} = \frac{1}{2 \det g} \partial_{j} (\det g) = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_{j} \sqrt{\det g} = \partial_{j} (\log \sqrt{\det g})$

Remarques
1. Le symbole de Christoffel étant symétrique, le résultat ne dépend de l'indice de contraction : $Γ_{i j}^{i} = Γ_{j i}^{i}$
2. Ni le symbole de Christoffel ni la dérivée partielle ne représentent des tenseurs. Néanmoins cette formule peut figurer dans des expressions qui représentent des tenseurs, par exemple dans la formule de la

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