Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction/Démonstration

Partant de l'expression du symbole de Christoffel en fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique $Γ_{i j}^{k} = \frac{1}{2} g^{k l} (g_{l j, i} + g_{l i, j} - g_{i j, l})$ , et profitant de la symétrie du tenseur métrique $g_{l i} = g_{i l}$ , on a $Γ_{i j}^{i} = \frac{1}{2} (g^{i l} g_{l j, i} + g^{i l} g_{i l, j} - g^{i l} g_{i j, l})$ . Échangeant les indices i et l dans le dernier terme, on voit que le premier terme le neutralise et l'on obtient $Γ_{i j}^{i} = \frac{1}{2} g^{i l} g_{i l, j}$ .

D'autre part la différentielle du déterminant $det g$ s'obtient en sommant le produit de chaque différentielle $d g_{i j}$ d'un élément de matrice $g_{i j}$ par le mineur correspondant à cet élément. Comme la matrice $g^{i j}$ est l'inverse de la matrice du tenseur métrique $g_{i j}$ , les mineurs cherchés sont $(det g) g^{i j}$ . Ainsi $d (det g) = (det g) g^{i j} d g_{i j}$ et donc $g^{i j} \partial_{k} (g_{i j}) = \frac{1}{g} \partial_{k} (det g)$

On a finalement $Γ_{i j}^{i} = \frac{1}{2 g} \partial_{j} (det g)$ , c.q.f.d.

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