Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur métrique

En coordonnées cylindriques $(r,\varphi ,z)$, le carré d'un élément de longueur vaut $d{l}^2=d{r}^2+r^{2}d{\varphi }^2+d{z}^2$ et donc le tenseur métrique vaut

$g_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut $\sqrt{\det g}=r$.

La matrice inverse du tenseur métrique vaut

$g^{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{r^2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

• Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle $({𝐞}_r,{𝐞}_{\varphi },{𝐞}_z)$est orthogonale et la base orthonormée s'écrit $({𝐞}_r,\frac{{𝐞}_{\varphi }}{r},{𝐞}_z)$.