Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Matrice inverse/Démonstration

On a défini (Cf. transformation contraco) le tenseur métrique inverse ${\left(g^{-1}\right)}^{ij}$ comme étant l'inverse de $g_{ij}$. En faisant intervenir deux fois le tenseur métrique, on obtient son expression covariante ${\left(g^{-1}\right)}_{ij}=g_{ik}{g}_{jl}{\left(g^{-1}\right)}^{kl}=g_{ik}{g}_{jl}{\left(g^{-1}\right)}^{lk}=g_{ik}{\delta }_j^k=g_{ij}.$ Le tenseur métrique est donc son propre inverse, c.q.f.d.