Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction

La contraction du symbole de Christoffel s'exprime à partir de la dérivée partielle du déterminant du tenseur métrique.

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^i=\frac{1}{2\det g}{\partial }_j(\det g)=\frac{1}{\sqrt{\det g}}{\partial }_j\sqrt{\det g}={\partial }_j(\log \sqrt{\det g})$

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction/Démonstration

• Remarques
  1. Le symbole de Christoffel étant symétrique, le résultat ne dépend de l'indice de contraction : ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^i={\mathrm{\Gamma }}_{ji}^i$
  2. Ni le symbole de Christoffel ni la dérivée partielle ne représentent des tenseurs. Néanmoins cette formule peut figurer dans des expressions qui représentent des tenseurs, par exemple dans la formule de la

divergence.