Voir la source de Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction/Démonstration

Partant de l'expression du symbole de Christoffel
[[Calcul tensoriel/Notions élémentaires#Symbole de Christoffel fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique|en fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique]]
<math>\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left(g_{lj,i} + g_{li,j} - g_{ij,l}\right)</math>,
et profitant de la
[[Calcul tensoriel/Notions élémentaires#Tenseur métrique|symétrie du tenseur métrique]]
<math>g_{li} = g_{il}</math>,
on a
<math>\Gamma^i_{ij} = \frac{1}{2} \left(g^{il} g_{lj,i} +  g^{il} g_{il,j} -  g^{il} g_{ij,l}\right)</math>.
Échangeant les indices ''i'' et ''l'' dans le dernier terme, on voit que le premier terme le neutralise et l'on obtient
<math>\Gamma^i_{ij} = \frac{1}{2} g^{il} g_{il,j}</math>.

D'autre part la différentielle du
[[Calcul tensoriel/Appendices/Déterminant|déterminant]]
<math>\det{g}</math> s'obtient en sommant le produit de
chaque différentielle <math>d g_{ij}</math> d'un élément de matrice <math>g_{ij}</math> par le
[[Calcul tensoriel/Appendices/Mineur|mineur]]
correspondant à cet élément.
Comme la matrice <math>g^{ij}</math> est l'[[Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Matrice inverse|inverse de la matrice du tenseur métrique]] <math>g_{ij}</math>,
les mineurs cherchés sont <math>\left(\det{g}\right) \; g^{ij}</math>. Ainsi <math>d \left(\det{g}\right)  = \left(\det{g}\right) \; g^{ij} \; d g_{ij}</math>
et donc
<math>g^{ij} \partial_k\left(g_{ij}\right) = \frac{1}{g} \partial_k \left(\det{g}\right)</math>

On a finalement
<math>\Gamma^i_{ij} = \frac{1}{2 g} \partial_j \left(\det{g}\right)</math>, c.q.f.d.

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