Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction/Démonstration

Partant de l'expression du symbole de Christoffel en fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=\frac{1}{2}{g}^{kl}(g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l})$, et profitant de la symétrie du tenseur métrique $g_{li}=g_{il}$, on a ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^i=\frac{1}{2}(g^{il}{g}_{lj,i}+g^{il}{g}_{il,j}-g^{il}{g}_{ij,l})$. Échangeant les indices i et l dans le dernier terme, on voit que le premier terme le neutralise et l'on obtient ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^i=\frac{1}{2}{g}^{il}{g}_{il,j}$.

D'autre part la différentielle du déterminant $\det g$ s'obtient en sommant le produit de chaque différentielle $d{g}_{ij}$ d'un élément de matrice $g_{ij}$ par le mineur correspondant à cet élément. Comme la matrice $g^{ij}$ est l'inverse de la matrice du tenseur métrique $g_{ij}$, les mineurs cherchés sont $(\det g)g^{ij}$. Ainsi $d(\det g)=(\det g)g^{ij}d{g}_{ij}$ et donc $g^{ij}{\partial }_k\left(g_{ij}\right)=\frac{1}{g}{\partial }_k(\det g)$

On a finalement ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^i=\frac{1}{2g}{\partial }_j(\det g)$, c.q.f.d.