Topologie/Continuité et homéomorphismes

Dans ce qui suit $X$ et $Y$ sont des espaces topologiques quelconques.

Continuité

Une fonction $f:X⟶Y$ est dite continue en un point $x\in X$ lorsque l'image réciproque de tout voisinage de $f(x)$ est voisinage de $x$.
La fonction $f$ est dite continue sur $X$ (ou simplement continue) si elle est continue en tout point de $X$. Elle est dite continue sur une partie $A$ de $X$ si sa restriction à $A$ l'est (bien entendu, en munissant cette partie la topologie induite).

Théorème — Soit $f:X⟶Y$ une fonction, les propositions suivantes sont toutes équivalentes entre elles :

1. $f$ est continue
2. l'image réciproque d'un ouvert est ouverte, c-à-d si $O$ est un ouvert dans $Y$, alors $f^{-1}(O)$ est ouverte dans $X$
3. l'image réciproque d'un fermé est fermée, c-à-d si $F$ est un fermé dans $Y$, alors $f^{-1}(F)$ est fermée dans $X$
4. l'image directe de l'adhérence d'une partie est incluse dans l'adhérence de l'image directe de cette partie, c-à-d pour $A\subseteq X$, on a $f(\bar{A})\subseteq \overline{f(A)}$
5. l'adhérence de l'image réciproque d'une partie est contenue dans l'image réciproque de l'adhérence de cette partie, c-à-d pour $B\subseteq Y$, on a $\overline{f^{-1}(B)}\subseteq f^{-1}(\bar{B})$
6. la frontière de l'image réciproque d'une partie est incluse dans l'image réciproque de la frontière de cette partie, c-à-d pour $B\subseteq Y$, on a $\partial f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(\partial B)$