Théorème de Pythagore (E-M)

Le théorème de Pythagore permet de calculer des distances dans un triangle rectangle ou de vérifier si un triangle est rectangle connaissant ses côtés.

Calculs de distances

Applications directes

Dans ces exercices, le triangle rectangle est donné

• Exercice 1

Le triangle ABC est rectangle en A. Sachant que AB = 3 et que AC = 4, calculer BC.

• Exercice 2

Le triangle MNP est rectangle en P. Sachant que MN = 13 et que NP = 5, calculer MP.

Formules à connaitre

Dans les exercices suivants, il s'agit de trouver quel est le triangle rectangle qu'il faut utiliser

• Exercice 1

Montrer que dans un carré de côté a, la diagonale est $a\sqrt{2}$

• Exercice 2

Montrer que dans un cube de côté a, la diagonale est $a\sqrt{3}$

• Exercice 3

Montrer que dans un triangle équilatéral de côté a, la hauteur est $a\frac{\sqrt{3}}{2}$

Utilisation dans l'espace

• Exercice 1

(S) est une sphère de centre O et de rayon 8 cm. On coupe cette sphère par un plan dont la distance à O est de 5 cm. Quel est le rayon du cercle obtenu?

• Exercice 2

(SABCD) est une pyramide dont la base est un carré ABCD de côté 6 cm et de centre O. Le sommet S de la pyramide se projette orthogonalement en O. La hauteur de la pyramide est de 4 cm.

1. 1. Quelle est la longueur SA ?
   2. Quelle est la valeur de l'apothème (segment joignant le sommet de la pyramide et le milieu d'un côté) ?

• Exercice 3

Le développement d'un cône est une portion de cercle de rayon 8 cm et d'angle au centre 180°. Quelle est la hauteur du cône?

Recherche

• Exercice 1

Il s'agit de retrouver le théorème d'Al Kashi dans le cas où le triangle ABC possède en A un angle aigu. (connaissance requise : cosinus dans le triangle rectangle).

On considère un triangle ABC. L'angle de sommet A est aigu. On note a = BC, b = CA et c = AB. Soit H le pied de la hauteur issue de B. On note h = BH et d = AH

1. 1. Exprimer HC en fonction de d et b
   2. Exprimer $a^2$ en fonction de d,b et h
   3. Exprimer $h^2$ en fonction de d et c et en déduire $a^2$ en fonction de d, b et c
   4. Exprimer d en fonction de c et cos(A) et retrouver la formule : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos (A)$

Triangle rectangle ou non?

• Exercice 1

Soit BCD un triangle tel que $BC=7$, $CD=3\sqrt{3}$ et $BD=3\sqrt{2}$. Le triangle est-il rectangle ? Si oui, où se trouve l'angle droit ?

• Exercice 2

Soit RAS un triangle tel que $RA=6$, $AS=10$ et $RS=8$. Le triangle est-il rectangle ? Si oui, où se trouve l'angle droit ?

• Exercice 3 (recherche)

Si ABC est un triangle rectangle en A, peut-on, en ajoutant une unité à chacune des dimensions, conserver un triangle rectangle ?