Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Similitudes planes

• Une transformation est une bijection du plan sur lui-même : tout point du plan admet une et une seule image, ainsi qu'un unique antécédent.

• Toute similitude plane est caractérisée par une écriture complexe du type $z^{\prime }=az+b$ ou $z^{\prime }=a\overline{z}+b(a\in {ℂ}^{\ast },b\in ℂ)$

• Si $z^{\prime }=az+b$ : $S$ est une similitude directe et elle conserve les angles orientés.
  Si $z^{\prime }=a\overline{z}+b$ : $S$ est une similitude indirecte et elle change l'orientation des angles.

• Soit $S(\mathrm{\Omega },k,\theta )$ une similitude telle que $z^{\prime }=az+b(a\in {ℂ}^{\ast },b\in ℂ)$
  • son centre $\mathrm{\Omega }$ est tel que $\omega =\frac{b}{1-a}$
  • son rapport $k$ est tel que $k=|a|$
  • son angle $\theta$ est tel que $\theta =\arg a$

• La similitude $S(\mathrm{\Omega },k,\theta )$ est la composée comutative de $h(\mathrm{\Omega },k)$ et de $r(\mathrm{\Omega },\theta )$
  $S(\mathrm{\Omega },k,\theta )=r(\mathrm{\Omega },\theta )\circ h(\mathrm{\Omega },k)=h(\mathrm{\Omega },k)\circ r(\mathrm{\Omega },\theta )$

• Si $s(\mathrm{\Omega },k,\theta )$ est une similitude directe, alors $s^n=\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{s\circ s\circ s\circ \dots \circ s}}$ est une similitude directe : $s^n(\mathrm{\Omega },k^n,n\theta [2\pi ])$

• Il existe une seule similitude directe $s$ tq $s:\genfrac{}{}{0ex}{}{A⟶A^{\prime }}{B⟶B^{\prime }}$ quand $A\ne B$ et $A^{\prime }\ne B^{\prime }$
  On sait alors que $k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}$ et $\theta =(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }})$