Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Rappel sur les suites

Suites arithmétiques

• Une suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ lorsqu'elle est définie par un de ses termes et une relation du type ${𝐮}_{𝐧\mathbf{+}\mathrm{𝟏}}\mathbf{=}{𝐮}_{𝐧}\mathbf{+}𝐫$ (où $r\in ℝ$).

• Une suite arithmétique de raison non nulle est une suite divergente.

• Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique :

$S=u_0+u_1+\dots +u_{n-1}+u_n=(n+1)\times \frac{u_0+u_n}{2}$
$S_{(p,n)}=u_p+u_{p+1}+\dots +u_{n-1}+u_n=(n-p+1)\times \frac{u_p+u_n}{2}$

Suites géométriques

• Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ lorsqu'elle est définie par un de ses termes et une relation du type ${𝐮}_{𝐧\mathbf{+}\mathrm{𝟏}}\mathbf{=}𝐪\mathbf{\cdot }{𝐮}_{𝐧}$ (où $q\in ℝ$).

$u_n=u_0\cdot q^n$
$u_n=u_p\cdot q^{n-p}$

Attention ! Si la suite commence à n=1 : $u_n=u_1\cdot q^{n-1}$

• $(u_n)$ est géométrique de raison $q$
  • Si $q<0$ : $(u_n)$ non monotone
  • Si $u_0>0$ et $0<q<1$ : $(u_n)$ décroît
    Si $u_0>0$ et $q>1$ : $(u_n)$ croît
  • Si $u_0<0$ et $0<q<1$ : $(u_n)$ croît
    Si $u_0<0$ et $q>1$ : $(u_n)$ décroît

• Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique :

$(\mathrm{\forall }q\ne 1)S=u_0+u_1+\dots +u_{n-1}+u_n=u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$