Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Logarithme népérien

• $f:x⟶y=lnx$ est une fonction définie sur ${ℝ}^{+*}$, à valeurs dans $ℝ$ dtsq $y=lnx\iff x=e^y$

• $e^{lnx}=x$ et $ln{e}^x=x$

• La fonction $x⟶lnx$ est strictement croissante sur ${ℝ}^{+*}$ et $(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

• $\mathrm{\forall }a\in {ℝ}^{+*},\mathrm{\forall }b\in {ℝ}^{+*}$ :
  • $a<b\iff lna<lnb$
  • $a=b\iff lna=lnb$

• $lnx>0\iff x>1$
  $lnx<0\iff 0<x<1$

• $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0^{+}}lnx=-\mathrm{\infty }$

• Les courbes ${𝒞}_{e^x}$ et ${𝒞}_{lnx}$ sont symétriques par rapport à $\mathrm{\Delta }:y=x$

• $\mathrm{\forall }a\in {ℝ}^{+*},\mathrm{\forall }b\in {ℝ}^{+*},\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}:$
  • $lna+lnb=ln(ab)$
  • $ln\frac{1}{a}=-lna$
  • $lna-lnb=ln\frac{a}{b}$
  • $ln(a^n)=nlna$

• $\mathrm{\forall }a\in {ℝ}^{+*}:ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}lna$

• $(lnu{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$

• $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{lnx}{x}=0^{+}$
• $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0^{+}}xlnx=0^{-}$
• $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}\frac{lnx}{x-1}=1$