Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Limites et continuité

Indéterminations

• Pour une fonction rationnelle, en $+\mathrm{\infty }$ et en $-\mathrm{\infty }$, il suffit de prendre la limite du quotient simplifié des termes de plus haut degré.

• Pour une fonction rationnelle, si $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)$ donne l'indétermination « $\frac{0}{0}$ », on peut simplifier $f(x)$ par $(x-a)$.

• Pour lever un grand nombre d'indéterminations du type « $\frac{0}{0}$ » avec des fonctions NON rationnelles, on utilise la définition du nombre dérivée : $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

• Lorsqu'une fraction contient des radicaux, il est parfois utile de faire appel à l'expression conjuguée.

Asymptotes

• Si $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a^{+}}f(x)$ ou $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a^{-}}f(x)$ est inifinie, alors la droite $\mathrm{\Delta }:x=a$ est asymptote verticale

• Si $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to +\mathrm{\infty }}(f(x)-(ax+b))=0$, alors la droite $\mathrm{\Delta }:x=ax+b$ est asymptote oblique à $𝒞f$ en $+\mathrm{\infty }$.
  Si $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to -\mathrm{\infty }}(f(x)-(ax+b))=0$, alors la droite $\mathrm{\Delta }:x=ax+b$ est asymptote oblique à $𝒞f$ en $-\mathrm{\infty }$.

Théorèmes de comparaison

• Si $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \alpha }g(x)=+\mathrm{\infty }$ et si $f(x)>g(x)$ au voisinage de $\alpha$, alors $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \alpha }f(x)=+\mathrm{\infty }$.
  Si $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \alpha }g(x)=-\mathrm{\infty }$ et si $f(x)<g(x)$ au voisinage de $\alpha$, alors $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \alpha }f(x)=-\mathrm{\infty }$.

• Théorème d'encadrement des limites (ou théorème des gendarmes) :
  Si $u(x)⩽f(x)⩽v(x)$ et si $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \alpha }u(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \alpha }v(x)=l$, alors $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \alpha }f(x)=l$.

Limites d'une fonction composée

• Si $f=g\circ h$, $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}h(x)=b$ et $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to b}g(x)=c$, alors on a : $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)=c$

Continuité d'une fonction

• $\mathrm{\forall }a\in ℝ$, la fonction $f$ est continue au point $a$ si elle vérifie :
  • $a\in 𝒟f$
  • $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)=f(a)$

• $f$ est continue sur un intervalle $I$ si $f$ est définie sur $I$ et si $f$ est continue en tout point de $I$.

• Si $f$ est continue sur un intervalle $[a,b]$, alors qqst le réel $c\in [f(a),f(b)]$ (ou $[f(b),f(a)]$), l'équation $f(x)=c$ admet au moins une solution dans $[a,b]$.
  Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $[a,b]$, alors qqst le réel $c\in [f(a),f(b)]$, l'équation $f(x)=c$ admet une unique solution dans $[a,b]$.