Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Dénombrement

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Dénombrer des listes

Le nombre de permutations d'un ensemble de $n$ éléments $(n ⩾ 1)$ est égal à :
$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1$

Si un ensemble $E$ contient $n$ éléments $(n ⩾ 1)$ , le nombre de listes sans répétitions de $E$ , $1 ⩽ p ⩽ n$ est :
$n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - (p - 1))$

Lorsqu'on établit une liste de $p$ éléments non nécessairement distincts pris dans un ensemble à $n$ éléments, on obtient $n^{p}$ éléments.

Combinaisons

Le nombre de parties de $p$ éléments d'un ensemble de $n$ éléments est noté $(\binom{n}{p})$

Pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ et pour tout entier $p$ tel que $0 ⩽ p ⩽ n$ :
$(\binom{n}{p}) = \frac{n!}{p! (n - p)!} = \frac{n (n - 1) \dots (n - p + 1)}{p!}$

Formules et binôme de Newton

∀n∈ℕ,∀p∈ℕ
- $0 ⩽ p ⩽ n : (\binom{n}{n - p}) = (\binom{n}{p})$
- $p ⩽ p ⩽ n - 1 : (\binom{n - 1}{p - 1}) + (\binom{n - 1}{p}) = (\binom{n}{p})$

$(a + b)^{n} = (\binom{n}{0}) a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b + \dots + (\binom{n}{p}) a^{n - p} b^{p} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) a b^{n - 1} + (\binom{n}{n}) b^{n}$

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1

Le triangle de Pascal

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