Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Complexes et géométrie

Module et argument d'un nombre complexe

• Si $M\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}\right)$ ds le repère $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ alors : $M(\rho ,\theta )$ en coordonnées polaires, tel que :
  $\{\begin{array}{c}\rho =|z|=\sqrt{x^2+y^2}\\ x=\rho cos\theta \\ y=\rho sin\theta \end{array}\iff \{\begin{array}{c}\rho =|z|=\sqrt{x^2+y^2}\\ cos\theta =\frac{x}{|z|}\\ sin\theta =\frac{y}{|z|}\end{array}$

$\genfrac{}{}{0ex}{}{z\text{ imaginaire pur}\iff argz=\frac{\pi }{2}[2\pi ]\text{ ou }argz=\frac{-\pi }{2}[2\pi ]}{z=iy(y\in {ℝ}^{+*})\text{ ou }z=iy(y\in {ℝ}^{-*})}$

$\genfrac{}{}{0ex}{}{z\text{ est un réel non nul}\iff argz=0[2\pi ]\text{ ou }argz=\pi [2\pi ]}{z\in {ℝ}^{+*}\text{ ou }z\in {ℝ}^{-*}}$

• Attention ! 0 n'a pas d'argument !

• $z=\rho (cos\theta +isin\theta )\text{ avec }\rho =|z|\text{ et }\theta =arg(z)$
  C'est l'écriture trigonométrique du nombre complexe $z$.

• Deux complexes conjugués ont même module et des arguments opposés.
  $|\overline{z}|=|z|\text{ ou }arg(|\overline{z}|)=-arg(z)[2\pi ]$

• $arg(\frac{z^{\prime }}{z})=arg{z}^{\prime }-argz[2\pi ]$
  $|\frac{z^{\prime }}{z}|=\frac{|z^{\prime }|}{|z|}(\text{avec }{z}^{\prime }\ne 0\text{ et }{z}^{\prime }\ne 0)$

• $A(z_A)$ et $B(z_B)$, alors l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$, notée $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$
  • $|z_B-z_A|=AB$
  • $\arg (z_B-z_A)=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB})[2\pi ]$

• $\arg (\frac{z_B-z_A}{z_D-z_C})=(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{AB})[2\pi ]$

Ecriture exponentielle d'un nombre complexe

• $\text{si }\rho =|z|\text{ et }\theta =\arg (z)[2\pi ]$
  $\text{alors }z=\rho \cdot e^{i\theta }$

• $\overline{z}=\rho e^{-i\theta }$

Transformations et complexes

• Translation de vecteur $\overrightarrow{v}$ : $z^{\prime }=z+v$

• Symétrie d'axe $(O,\overrightarrow{u})$ : $z^{\prime }=\overline{z}$

• Symétrie de centre $O$ : $z^{\prime }=-z$

• Homothétie de centre $\mathrm{\Omega }(\omega )$ et de rapport $k$ : $z^{\prime }-\omega =k(z-\omega )$

• Rotation de centre $\mathrm{\Omega }(\omega )$ et d'angle $\theta$ : $z^{\prime }-\omega =(z-\omega )\cdot e^{i\theta }$