Photographie/Netteté des images/Profondeur de champ/Calcul de la profondeur de champ

On rappelle les données géométriques :

Calcul de a

Comme pour la profondeur de foyer, on établit des proportions dans des triangles semblables :

$\frac{ϵp^{\prime }}{d}=\frac{a^{\prime }-p^{\prime }}{a^{\prime }}=1-\frac{p^{\prime }}{a^{\prime }}$

Les formules habituelles des lentilles simples permettent d'écrire :

$p^{\prime }=\frac{pf}{p-f}{a}^{\prime }=\frac{af}{a-f}{r}^{\prime }=\frac{rf}{r-f}$

$\frac{ϵp^{\prime }}{d}=\frac{ϵpf}{d(p-f)}=1-\frac{pf}{p-f}\cdot \frac{a-f}{af}=\frac{a(p-f)-p(a-f)}{a(p-f)}=\frac{f(p-a)}{a(p-f)}$

donc :

$\frac{ϵpf}{d(p-f)}=\frac{f(p-a)}{a(p-f)}$

$\frac{f}{d}$ n'est autre que l'ouverture relative du diaphragme $n$. On remplace et on simplifie :

$ϵpn=\frac{f(p-a)}{a}$

$ϵpna=f(p-a)\to a(ϵpn+f)=pf\to a=\frac{pf}{ϵpn+f}$

CQFD. Le calcul de $r$ se conduit exactement de la même manière.

Calcul de p

$ϵpn=\frac{f(p-a)}{a}\to \frac{ϵn}{f}=\frac{p-a}{ap}=\frac{1}{a}-\frac{1}{p}$

On fait de même pour $r$.

$\frac{ϵn}{f}=\frac{1}{a}-\frac{1}{p}=\frac{1}{p}-\frac{1}{r}\to \frac{2}{p}=\frac{1}{a}+\frac{1}{r}\to p=\frac{2ar}{a+r}$

Calcul de n

On part de $a$ et on remplace $p$ par la valeur qui vient d'être calculée :

$a=\frac{pf}{ϵpn+f}=\frac{\frac{2ar}{r+a}f}{ϵ\frac{2ar}{r+a}n+f}=\frac{2arf}{2arϵn+f(r+a)}$

Ce qui donne :

$2arϵn+f(r+a)=2rf\to n=\frac{2fr-f(r+a)}{2arϵ}\to n=\frac{f(r-a)}{2arϵ}$