Photographie/Mathématiques/Que fait-on avec les logarithmes ?

On remplace les multiplications par des additions

Rappelons-nous que le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes des facteurs de ce produit :

$\log (a\times b)=\log a+\log b$

Par exemple, si a = 1,5 et b = 3

log 1,5 = 0,176

log 3 = 0,477

alors : log (1,5 × 3) = 0,176 + 0,477 = 0,653 = log 4,5

On ne fait pas autre chose quand on utilise une règle à calculs : les deux graduations de la règle et de la réglette sont logarithmiques. Les deux flèches rouges représentent les deux logarithmes de 1,5 et 3, on les met bout-à-bout et la pointe verte désigne le résultat : 4,5.

On remplace les divisions par des soustractions

De la même façon le logarithme d'un rapport est la différence des logarithmes des deux termes de ce rapport :

$\log \left(\frac{a}{b}\right)=\log a-\log b$

Par exemple, si a = 3,2 et b = 2

log 3,2 = 0,505

log 2 = 0,301

log (3,2/2 = 0,505 - 0,301 = 0,204 = log 1,6

Avec la règle à calculs on aligne le 2 de la réglette et le 3,2 de la graduation de base, puis on lit le résultat, 1,6, devant le 1 de la réglette.

Cette méthode se généralise facilement :

$\log \left(\frac{a\times b}{c\times d}\right)=\log a+\log b-\log c-\log d$

Si les nombres ne sont pas compris entre 1 et 10 il faut les "normaliser" :

Exemple : calculer $X=\frac{2000\times 0,3}{15000}$

$\log X=\log \left(\frac{2000\times 0,3}{15000}\right)=\log \left(\frac{2\times 1000\times 3\times 10^{-1}}{1,5\times 10000}\right)=\log (\frac{2\times 3}{1,5}\times \frac{100}{10000})$

$\log X=\log 2+\log 3-\log 1,5-\log 100=0,301+0,477-0,176-2=0,602-2=\overline{2},602$

$\log X=\log 4-2=\log 4-\log 100=\log \left(\frac{4}{100}\right)=\log 0,04$

CQFD : X = 0,04

Évidemment, il existe des moyens plus rapides pour faire ce genre de calculs, ces exemples ne sont là qu'à titre de démonstration. Cela va sans dire mais c'est encore mieux en l'écrivant.

On améliore les représentations graphiques

Un bon graphique vaut mieux qu'un long discours, dit à juste titre la sagesse populaire.

En étudiant les variations d'une grandeur physique, on est souvent amené à représenter à la fois des valeurs très faibles et des valeurs très fortes de cette grandeur, sur un même graphique. Les graduations linéaires, dont les longueurs sont directement proportionnelles aux valeurs numériques, sont alors inutilisables.

Prenons par exemple la fonction y = x²

y = 0 quand x = 0

y = 1 quand x = 1

y = 4 quand x = 2

...

y = 100 quand x = 10

etc.

	Tracée sur du papier millimétré ordinaire, la courbe qui la représente est une parabole. Les petites valeurs sont tassées aux environs du zéro et il est impossible de les distinguer. Les grandes s'éloignent très vite dans la direction de l'axe des y.
	On peut maintenant représenter la fonction sur du papier semi-logarithmique. Cette fois l'axe des x est gradué linéairement tandis que l'axe des y est gradué en logarithmes. Il comporte ici trois modules et le début du quatrième. Le saut d'un module à l'autre correspond à une différence d'un ordre de grandeur, c'est-à-dire un facteur 10. Des feuilles de divers formats comportant 1, 2, 3, 4, 6 ou 12 modules sont disponibles dans le commerce, on choisit le nombre de modules en fonction de l'utilisation que l'on a prévue. Les petites valeurs dans la direction y sont fortement dilatées (le zéro est rejeté à l'infini vers le bas), et l'on devine que les grandes sont considérablement tassées. Les diagrammes donnant les temps de développement des films en fonction de la température sont semi-logarithmiques
	Avec du papier « log-log », dont les deux échelles sont logarithmiques, la courbe devient cette fois … une droite de pente 2. Normal ! y = x2 = x.x donc log y = log x + log x = 2 log x Sur les deux axes, les petites valeurs sont dilatées, les grandes tassées et le zéro, rejeté à l'infini, est perdu. Comme nous le verrons plus loin, les courbes de développement des surfaces sensibles sont toujours tracées sur des graphiques de type "log-log", de même que les courbes qui expriment les caractéristiques de réponse à la lumière des capteurs numériques associés aux logiciels embarqués dans les appareils.

Modèle:Ph Mathématiques