Photographie/Mathématiques/Puissances et racines des nombres

Puissances à exposant entier positif

La notion de puissance provient d'un cas particulier de produit : par exemple le produit a × b × c est obtenu en multipliant les nombres a, b et c. Si ces trois nombres sont égaux, ce produit devient alors a × a × a, la puissance cubique, ou cube, du nombre a, notée a³, qui se lit « a puissance 3 » ou encore « a au cube ».

Considérons un nombre quelconque a et multiplions n copies de lui-même :

$P=\underset{n\text{ fois }a}{\underbrace{a\times a\times a\times ...a}}$

Nous dirons que ce nombre a est élevé à la puissance n et nous écrirons :

$P=a\times a\times a\times ...a=a^n$

Dans cette écriture le nombre n est appelé exposant.

Quand a est égal à 10, nous aurons des valeurs telles que :

10¹ = 10

10² = 10 × 10 = 100

10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000

etc.

L'intérêt de cette écriture est évident pour les grands nombres que l'on peut toujours écrire sous la forme d'un facteur allant de 1 à 9, 9999… multiplié par une puissance de 10, par exemple :

1 000 000 000 000 = 1 × 10¹²= 10¹²

61 327 000 000 000 000 = 6, 132 7 × 10¹⁶

Dans la plupart des cas, il est toutefois préférable d'utiliser des exposants multiples de 3 qui correspondent mieux aux habitudes de la numération : mille, un million, un milliard, etc.

61 327 000 000 000 000 = 61, 327 × 10¹⁵

Racines n-ièmes

Prenons maintenant le problème à l'envers. Au lieu de chercher ce qui se passe lorsque nous élevons un nombre à la puissance n, essayons de trouver quel est le nombre inconnu x qui, élevé à la puissance n, donnera un autre nombre N fixé à l'avance :

$x^n=N$

Par définition, x sera appelé racine n-ième de N. Si n = 2, nous aurons affaire à une racine carrée, si n = 3, à une racine cubique, si n = 4, à une racine quatrième, etc.

La notation habituelle d'une racine est la suivante :

si $x^n=N$ alors $x=\sqrt[n]{N}$

Bien entendu, la définition que nous venons de donner nous permet d'écrire :

$(\sqrt[n]{N}{)}^n=N$

Pour les racines carrées, il est d'usage de ne pas préciser la valeur de n.

Voici quelques exemples numériques :

racines carrées :

$\sqrt{4}=2$

$\sqrt{100}=10$

$\sqrt{2}=1,414$ (c'est une valeur usuelle !)

$\sqrt{3}=1,732$ (celle-là aussi !)

racines cubiques :

$\sqrt[3]{8}=2$

$\sqrt[3]{125}=5$

racine sixième :

$\sqrt[6]{64}=2$

etc.

Remarques importantes : sauf en faisant appel aux nombres complexes, qui sortent largement du cadre de cet exposé, on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif. la racine carrée d'un nombre est PAR DÉFINITION un nombre positif. Ainsi, $\sqrt{4}=2$ et non pas $-2$

Produits de puissances

Cherchons à calculer le produit de puissances différentes d'un même nombre :

$a^m\times a^n=\underset{m\text{ fois }a}{\underbrace{a\times a\times ...a}}\times \underset{n\text{ fois }a}{\underbrace{a\times a\times ...a}}=\underset{m+n\text{ fois }a}{\underbrace{a\times a\times ...a}}=a^{m+n}$

Retenons que $a^m\times a^n=a^{m+n}$

Par exemple : 10² × 10³ = 100 × 1 000 = 100 000 = 10⁵ = 10²⁺³

Quotient de puissances

Calculons maintenant le quotient de puissances différentes d'un même nombre:

$\frac{a^m}{a^n}=\frac{\stackrel{m\text{ fois }a}{\overbrace{a\times a\times ...a}}}{\underset{n\text{ fois }a}{\underbrace{a\times a\times ...a}}}=a^{m-n}$

Si m > n, l'exposant est positif,

si m = n, l'exposant est nul et le rapport vaut 1

si m < n, l'exposant est négatif.

Par exemple :

$\frac{10^5}{10^3}=\frac{100000}{1000}=100=10^2=10^{5-3}$

$\frac{10^2}{10^5}=\frac{100}{100000}=10^{2-5}=10^{-3}=\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^3}$

Notons au passage que $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ et retenons que $\frac{a^m}{a^n}=a^m\times a^{-n}=a^{m-n}$

Nous pouvons désormais écrire toutes les puissances d'un nombre, par exemple 10, sous une forme unique :

...

10³ = 1 000

10² = 100

10¹ = 10

10⁰ = 1

10^-1 = 1 / 10 = 0,1

10^-2 = 1 / 100 = 0,01

10^-3 = 1 / 1 000 = 0,001

...

Remarques :

• puissances à exposant nul : pour tout nombre a non nul, on pose par convention que a⁰ = 1. Dans la plupart des cas on admet que c'est vrai également pour a = 0, et donc que 0⁰ = 1 mais dans certaines circonstances on doit considérer que 0⁰ est un nombre indéfini.

• puissances à exposant négatif : on considère maintenant un nombre a non nul et un entier naturel n. Le nombre a^-n, lu « a puissance moins n », est l'inverse de la puissance n-ième de a, c'est-à-dire :

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

On comprend qu'il faut exclure 0 de cette définition car l'inclure reviendrait à diviser par 0, ce qui est impossible

Attention, une puissance de a à exposant négatif n'est pas forcément négative ; par exemple 3^-4, l'inverse de la puissance quatrième de 3, est bien une puissance à exposant négatif, car -4 est un entier négatif, mais :

$3^{-4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{3\times 3\times 3\times 3}=\frac{1}{81}>0$

Puissances d'une puissance

Cherchons enfin à calculer la puissance d'une puissance :

$(a^m{)}^n=\stackrel{n\text{ fois }{a}^m}{\overbrace{\underset{m\text{ fois }a}{\underbrace{a\times ...a}}\times \underset{m\text{ fois }a}{\underbrace{a\times ...a}}...\times \underset{m\text{ fois }a}{\underbrace{a\times ...a}}}}=\underset{m\times n\text{ fois }a}{\underbrace{a\times ...a}}$

Il en résulte que $(a^m{)}^n=a^{mn}$

Par exemple :

$(2^3{)}^2=8^2=64=2^{3\times 2}=2^6$

Cette dernière formule nous permet de noter autrement les racines d'un nombre, car si les exposants sont tels que m = 1/n, il en résulte que mn = 1 et l'on peut alors écrire :

$(a^{\frac{1}{n}}{)}^n=a^1=a$

$a^{\frac{1}{n}}$ n'est autre que la racine n-ième de a.

D'où $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

Par exemple :

$\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{0,5}\approx 1,414$

Formulaire

• produit de puissances : $a^m\times a^n=a^{m+n}$

• quotient de puissances : $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ pour tout $a$ non nul

• puissance d'une puissance : $(a^m{)}^n=a^{m\times n}$

• puissance d'une produit : $(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$

• puissance d'un quotient : ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$ pour tout $b$ non nul

• produit d'une puissance par son inverse : $a^n\times a^{-n}=a^n\times \frac{1}{a^n}=\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0=1$

Modèle:Ph Mathématiques