Photographie/Mathématiques/Notion d'angle solide

Définitions

Le rayonnement d'une source lumineuse ponctuelle se propage dans un cône ayant pour sommet la source elle-même.

L'angle solide $\mathrm{\Omega }$ qui caractérise l'ouverture plus ou moins grande de ce cône peut être évalué à partir de l'aire s de la surface qu'il découpe sur une sphère de rayon R, centrée en S. Plus le cône est ouvert, plus cette aire est grande.

L'unité d'angle solide est le stéradian (sr), c'est-à-dire l'angle solide au centre d'une sphère qui découpe sur cette dernière une surface d'aire égale au carré du rayon.

$\mathrm{\Omega }=\frac{s}{R^2}$

La surface d'une sphère étant S = 4 π R², on en déduit que l'angle solide total autour d'un point (ou spat) vaut 4 π stéradians.

Supposons maintenant que l'œil soit placé au sommet d'un cône de sommet S et d'angle solide $\mathrm{\Omega }$. Toutes les surfaces telles que S₁, S₂, S₃ qui s'appuient sur les génératrices du cône sont vues sous le même angle solide mais leurs formes et leurs aires peuvent être très différentes.

L'expérience personnelle nous permet de reconnaître la forme des objets, avec (ou sans !) l'aide du jeu des lumières et des ombres et de notre vision binoculaire. Le bord d'une assiette vue obliquement apparaît sous la forme d'une ellipse que notre culture visuelle nous fait reconnaître comme un cercle. Cette aptitude manque totalement aux jeunes enfants et parfois les adultes eux-mêmes se font surprendre en regardant un « trompe-l'œil ».

Bases de calcul

Ceux qui sont rebelles aux mathématiques peuvent sauter ce paragraphe et passer sans regrets à la suite.

En photométrie, on est souvent amené à évaluer l'angle solide $\mathrm{\Omega }$ sous lequel on observe une surface S depuis un point O. Si la surface est de forme complexe, ce qui est souvent le cas, on la divise en éléments suffisamment petits pour qu'on puisse les considérer comme plans. La normale N à un élément dS fait un angle α avec la direction d'observation u. La projection de l'élément de surface dS sur une sphère fictive de centre O et de rayon OM donne son aire apparente $d{S}_a=dS\cos \alpha$, tandis que l'angle solide $d\mathrm{\Omega }$ sous lequel on voit dS depuis O s'écrit :

$d\mathrm{\Omega }=\frac{d{S}_a}{d^2}=\frac{dS\cos \alpha }{d^2}$

Bien sûr, α et d dépendent de M puisqu'a priori la surface S n'est pas sphérique.

L'angle solide total $\mathrm{\Omega }$ sous lequel on voit la surface S depuis le point O est la somme de tous les petits angles élémentaires d$\mathrm{\Omega }$ :

$\mathrm{\Omega }=\int d\mathrm{\Omega }=\underset{S}{\int }\frac{dS\cos \alpha }{d^2}$

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