Mathématiques du traitement du signal/Fonctions de permutation

Fonctions de permutation en informatique

Un petit camarade informaticien me demandait récemment par mail comment comment construire une fonction de permutation (qu'il a appelé valeur complémentaire):

J'ai besoin de tes lumières pour une quest° simple mais q je crois pas pouvoir trouver seul. 
En fait je pense que c'est une équation que j'arrive pas à solutionner .
tu es prêt ?
alors j'ai trois valeurs { 0, 1, 2}
jusque là je pense être clair !
Maintenant il faut que si je prends une valeur de l'ensemble je retombe automatiquement sur les deux autres,
je crois que ça pt s'appeler une valeur complémentaire.

Exemple j'ai 2 valeurs {0, 1}
l'équation complémentaire est 1-X
car 0 donne 1 
et 1 donne 0

Mais avec {0 1 2} je trouve pas
je dirai
2-x
1-x
car le 1 fait bloquer le processus .....
Et je dois trouver un substitut pour un élémen t de détail sur 1 de mes sites . salut

C'est une question suffisamment générique en informatique pour que cela vaille le coup d'y consacrer un peu de place ici.

pour un ensemble de N nombres (ici 3), il te faut N-1 (ici 2) fonctions. Elles doivent toutes être construites sur le même modèle, qui vient du fait que si tu as N-1 nombres $a_1,a_2,\dots ,a_{N-1}$ la fonction (c'est un polynôme de degré N-2) :

$F(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_{N-1})$ vaut zéro pour tous ces nombres

Pour construire une fonction qui envoie aN sur a1 et tous les autres nombres $(a1,\dots ,a_{N-1})$ sur zéro, il faut prendre la fonction :

$G(x)=\frac{F(x)}{F(a_N)}{a}_1$

je vais noter cette fonction $G[a_N](x)$ pour nous rappeler qu'elle vaut zéro partout sauf pour $a_N$.

de même, la fonction qui envoie a1 sur a2 et tous les autres nombres $(a_3,\dots ,a_N)$ sur zéro est :

$G[a_1](x)=F[a_3,\dots ,a_N](x)/F[a_3,\dots ,a_N](a_1)a_2$

où j'ai noté $F[a_3,\dots ,a_N](x)=(x-a_3)(x-a_4)\dots (x-a_N)$ ; maintenant, tu peux remarquer que :

$H(x)=G[a_1](x)+G[a_N](x)$

vaut zéro partout sauf en $a_1$ et en $a_N$ (où elle vaut $a_2$ et $a_1$), voila que ça commence à prendre forme. La formule finale est :

$K(x)=G[a_1](x)+G[a_2](x)+\dots +G[a_N](x)=\sum _{n=1}^{N}G[a_n](x)$

qui vaut $a_{n+1}$ en $a_n$ pour tous les n (elle décale tout le monde d'un indice).

si on applique cela à ton problème (mais comme ça tu pourras résoudre n'importe quel problème du genre) :

$\{a_1,a_2,a_3\}=\{0,1,2\}$

$\{\begin{array}{ccc}F[1,2](x)& =& (x-1)(x-2)\\ F[0,2](x)& =& x(x-2)\\ F[0,1](x)& =& x(x-1)\end{array}$

et donc

$\{\begin{array}{ccccc}G[0](x)& =& \frac{F[1,2](x)}{F[1,2](0)}1& =& \frac{(x-1)(x-2)}{2}\\ G[1](x)& =& \frac{F[0,2](x)}{F[0,2](1)}2& =& -x(x-2)2\\ G[2](x)& =& \frac{F[0,1](x)}{F[0,1](2)}0& =& 0\end{array}$

ce qui permet d'écrire :

$K(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{2}-x(x-2)2+0$

que tu peux simpifier en $K(x)=(x-2)(\frac{x-1}{2}-2x)$

Cette fonction a bien la propriété d'envoyer 0 sur 1, 1 sur 2 et 2 sur 0.

tu peux obtenir de la même façon une seconde fonction qui envoie 0 sur 2, 1 sur 0 et 2 sur 1, il s'agit de :

$L(x)=\frac{F[1,2](x)}{F[1,2](0)}2+\frac{F[0,2](x)}{F[0,2](1)}0+\frac{F[0,1](x)}{F[0,1](2)}1$

et voilà, j'espère que cela répond à ta question et surtout que cela va te permettre de calculer toi même toutes les fonctions de ce genre dont tu auras besoin.