Mathématiques avec Python et Ruby/Résolution de systèmes en Python

Bien entendu, on va noter x le prix d'un xylophone, et y le prix d'un youkoulélé. Les données de l'énoncé se traduisant algébriquement par 2y=3x+1 et x+y=8.

On va donc voir comment résoudre le système de deux équations à deux inconnues suivant :

$\{\begin{array}{ccc}3x-2y& =& -1\\ x+y& =& 8\end{array}$

Méthode graphique

Une méthode simple (surtout ici puisque la solution est formée d'entiers) consiste à tracer les deux droites d'équations respectives $3x-2y=-1$ et $x+y=8$ et de lire sur le graphique les coordonnées de leur point d'intersection. Python tout seul ne sait pas faire ça mais PyKig lance le logiciel Kig et le laisse faire le travail, à condition de lui fournir les éléments nécessaires pour faire les constructions géométriques : Les coordonnées de points de chaque droite. Or la droite d'équation $ax+by=c$ passe par les points de coordonnées $(\frac{c}{a};0)$ et $(0;\frac{b}{a})$ (intersections avec les axes de coordonnées) qui sont constructibles par Kig. Le script suivant colorie en bleu la première droite (le milieu M sert de point d'ancrage pour son équation réduite) et en rouge la seconde droite, puis affiche en mauve leur point d'intersection :

e1=[3.0,-2.0,-1.0]
e2=[1.0,1.0,8.0]


A=Point(e1[2]/e1[0],0,HIDDEN)
B=Point(0,e1[2]/e1[1],HIDDEN)
d1=Line(A,B)
d1.setcolor("blue")
M=MidPoints(A,B,HIDDEN)
t=Text(M,Equation(d1),0)
t.setcolor("blue")


C=Point(e2[2]/e2[0],0,HIDDEN)
D=Point(0,e2[2]/e2[1],HIDDEN)
d2=Line(C,D)
d2.setcolor("red")
N=MidPoints(C,D,HIDDEN)
u=Text(N,Equation(d2),0)
u.setcolor("red")


I=LineLineIntersection(d1,d2)
I.setcolor("magenta")

En enregistrant son contenu dans un fichier appelé system.kpy, et en exécutant dans une console ceci :

pykig.py system.kpy

On obtient, après lancement inopiné de Kig (à condition bien sûr que celui-ci soit installé, ce qui est très facile sous Linux, beaucoup moins sous les autres systèmes), la figure suivante (où il a été nécessaire de créer un Label donnant les coordonnées du point d'intersection, ce que PyKig ne sait pas faire) :

On lit les coordonnées du point d'intersection, qui constituent la solution du système. Il est possible de déplacer à la souris les points A, B, C et D et voir les coordonnées du point d'intersection se mettre à jour en temps réel : En effet Kig est un logiciel de géométrie dynamique.

Cette méthode n'est pas applicable à des systèmes de plus de deux inconnues mais elle est très visuelle pour des systèmes tels que $\{\begin{array}{ccc}4x+2y& =& 3\\ 2x+y& =& 5\end{array}$ pour lesquels on voit non seulement qu'il n'y a pas de solution, mais également pourquoi il n'y a pas de solution.

Si l'une des droites est verticale ou horizontale, le fichier ci-dessus doit être modifié avec des tests gérant ces cas. Ceci est laissé en exercice.

Méthode itérative

Si on sait que x et y sont entiers naturels, on peut résoudre le système par une double boucle sur x et y :

solutions=[(x,y) for x in range(100) for y in range(200) if 3*x-2*y==-1 and x+y==8]
print(solutions)

Pour "x"et"y" appartenant à R je propose le script suivant :

def systeme (a1,b1,c1,a2,b2,c2):

   x=float()
   y=float()
   'a1*x + b1*y =c1,a2*x + b2*y =c2'
   if a1*b2-a2*b1==0:
       print('Pas de solution')
   else:    
       y=(c2*a1-c1*a2)/(a1*b2-a2*b1)
       x=(c1-b1*y)/a1
       print('x =',round(x,2),"",'y =',round(y,2))

Méthode de Cramer

La méthode de Cramer est également implémentable en Python :

def affiche(e):
    print(str(e[0])+'x+('+str(e[1])+')y='+str(e[2]))

def resoudre(e1,e2):
    determinant=e1[0]*e2[1]-e1[1]*e2[0]
    if determinant==0:
        print('Pas de solution unique')
    else:
        x=(e1[2]*e2[1]-e1[1]*e2[2])/determinant
        y=(e1[0]*e2[2]-e1[2]*e2[0])/determinant
        print('La solution est ('+str(x)+','+str(y)+')')


e=[3,-2,-1]
f=[1,1,8]

affiche(e)
affiche(f)
resoudre(e,f)

Mais le module fractions permet d'avoir la valeur exacte de la solution chaque fois que les coefficients du système sont entiers :

from fractions import *

def resoudre(e1,e2):
    determinant=e1[0]*e2[1]-e1[1]*e2[0]
    if determinant==0:
        print('Pas de solution unique')
    else:
        x=Fraction(e1[2]*e2[1]-e1[1]*e2[2],determinant)
        y=Fraction(e1[0]*e2[2]-e1[2]*e2[0],determinant)
        print('La solution est ('+str(x)+','+str(y)+')')


e=[3,-2,-1]
f=[1,1,8]
resoudre(e,f)

Avec NumPy

Le module Modèle:W permet de faire du calcul avec Python, et même en étant à la fois rapide et précis (parce que ce module est précompilé).

Installation

Les principales distributions Linux sont fournies avec. Sur Windows, on peut le télécharger sur http://sourceforge.net/projects/numpy/files/.

Une fois le .zip décompressé, il faut l'installer en tapant dans la console :

python setup.py install

En cas d'erreur :

• ImportError “No Module named Setuptools” : sauvegarder le fichier https://bootstrap.pypa.io/ez_setup.py dans le dossier Python, puis l'installer : python ez_setup.py install.
  • Microsoft Visual C++ 9.0 is required, le télécharger sur https://www.microsoft.com/en-us/download/details.aspx?id=44266

Utilisation

Pour résoudre le système, entrer le script suivant :

from numpy import *

A=matrix([[3,-2],[1,1]])
B=matrix([[-1],[8]])
solution=linalg.solve(A,B)
print(solution)