Mathématiques avec Python et Ruby/Analyse numérique en Ruby

Fonction

Les algorithmes ci-dessous seront appliqués à la fonction f : $x\mapsto x^2-5$. On va donc commencer par créer une méthode pour cela:

def f(x)
    return x**2-5
end

Résolution numérique d'une équation

Pour chercher à $10^{-14}$ près un antécédent de 0 par f, on peut utiliser la méthode de dichotomie:

def zerof(a,b)
    if f(a)*f(b)>0 then
        puts('Pas de solution unique entre '+a.to_s+' et '+b.to_s+'.')
    else
        while ((a-b).abs>1e-14)
            m=(a+b)/2.0
            if f(m)*f(a)>0 then
                a=m
            else
                b=m
            end
        end
    end
    return m
end


puts(zerof(1,3))

Le script affiche une solution parce que f(1) est négatif et f(3) positif. Sinon on aurait un message d'erreur.

Calcul approché d'un nombre dérivé

On approche la tangente par une sécante. On utilise une méthode centrée:

def NDerf(x)
    h=1e-10
    return (f(x+h)-f(x-h))/(2*h)
end

puts(NDerf(2))

On voit que $f^{\prime }(2)\simeq 4$

Calcul approché d'une intégrale

La méthode des rectangles consiste à approcher $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$ par la somme des aires des rectangles de largeur h et de hauteur f(a+nh) pour a+nh allant de a à b. On choisit N assez grand (ici 1 000 000) pour que h soit petit et l'approximation bonne:

def Nintf(a,b)
    h=(b-a).to_f/1e6
    return (1..1000000).inject{|s,i| s+=h*f(a+h*i)}
end

puts(Nintf(0,2))