Mathématiques au lycée/Dérivation

Soit $f$ une fonction numérique d'une variable réelle définie sur un intervalle I contenant $a$. $f$ est dérivable en $a$ si

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, pour $h$ réel tel que $a+h$ appartient à I, a une limite finie quand $h$ tend vers 0. Cette limite est appelée nombre dérivé, il est noté $f{}^{\prime }(a)$.

Sur le dessin ci-contre $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est le coefficient directeur de la droite D. Lorsque $h$ tend vers 0 la droite D se rapproche de la tangente à la courbe de $f$.

Si $f$ est dérivable en tout réel $a$ d'un intervalle I, on dit que $f$ est dérivable sur I et la fonction, qui associe à tout $x$ de I le réel $f{}^{\prime }(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$.

Théorème

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle I et $\lambda$ un réel :

• $\lambda f$ est dérivable sur I et $(\lambda f){}^{\prime }=\lambda f{}^{\prime }$.
• $f+g$ est dérivable sur I et $(f+g){}^{\prime }=f{}^{\prime }+g{}^{\prime }$.
• $fg$ est dérivable sur I et $(fg){}^{\prime }=f{}^{\prime }g+fg{}^{\prime }$.
• $\frac{f}{g}$ est dérivable en tout $x$ de I tel que $g(x)$ soit non nul et $\left(\frac{f}{g}\right){}^{\prime }=\frac{f{}^{\prime }g-fg{}^{\prime }}{g^2}$.