Manuel de géométrie vectorielle/Somme et différence de vecteurs
Somme de vecteurs
Somme de vecteurs bout à bout
Les vecteurs peuvent s'additionner naturellement à partir de leur définition par les translations. Ce théorème s'appelle la relation de Chasles. Modèle:Théorème
Somme de vecteurs de même origine
De la caractérisation vectorielle d'un parallélogramme et de la relation de Chasles, on déduit une autre manière d'additionner les vecteurs. Modèle:Propriété
Opposé d'un vecteur
Observons les deux vecteurs et sur le dessin suivant.
Le quadrilatère ABCD étant un parallélogramme, on peut constater que les vecteurs et ont deux caractéristiques sur trois en commun :
- Les côtés opposés du parallélogramme étant parallèles, les vecteurs et ont la même direction.
- Les côtés opposés du parallélogramme étant de même longueur, les vecteurs et ont la même longueur.
Par contre les vecteurs et diffèrent par leur sens.
On dit que les vecteurs et sont opposés.
L'opposé du nombre 2 est le nombre -2. De la même manière, on note l'opposé du vecteur .
Différence de deux vecteurs
On a vu précédemment le sens de la somme de deux vecteurs. Quel sens donner à la différence de deux vecteurs et ?
Le calcul sur les nombres peut nous aider à entrevoir la réponse. On sait depuis quelques années que par exemple 5-3 peut s'écrire 5+(-3) : la différence de 5 et de 3 est égale à la somme de 5 et de l'opposé de 3.
Appliquons le même principe aux vecteurs et , ce qui est bien pratique puisqu'on vient de voir la somme de deux vecteurs.
À partir d'un point A:
- On construit par translation de vecteur un point B tel que ,
- puis on construit par translation de vecteur un point C tel que .
Le vecteur ainsi construit est égal à .
En effet d'après la relation de Chasles :
Et d'après la construction effectuée :
Puis en appliquant aux vecteurs les règles de calculs sur les nombres algébriques :