Manuel de géométrie vectorielle/Colinéarité

Colinéarité de deux vecteurs du plan

$d$ et $d^{\prime }$ sont parallèles : on dit que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires

La notion de colinéarité pour les vecteurs est l'équivalent de la notion de parallélisme pour les droites :

En observant le dessin de la définition précédente on constate que $\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{v}$. De manière générale, on a la propriété :

Application de la colinéarité

Colinéarité et alignement

Prenons trois points alignés A, B et C comme sur le dessin suivant :

Les droites $\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{)}$ et $\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{)}$ sont parallèles, donc d'après la définition de deux vecteurs colinéaires, les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ sont colinéaires.

Ceci prend la forme de la propriété suivante, qui malgré sa simplicité est d'un grand intérêt pour résoudre des problèmes géométriques à l'aide de vecteurs.

Colinéarité et parallélisme

Cette autre propriété est une conséquence directe de la définition de vecteurs colinéaires.

Les droites $\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{)}$ et $\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{)}$ sont parallèles, ce qui d'après la définition correspond à la colinéarité des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{D}}$

Là encore, malgré son apparente simplicité, cette propriété est d'un grand intérêt pour ramener un problème de géométrie à un problème de vecteurs.

Exercices

Points définis par une relation vectorielle

Modèle:Exercices On considère trois points A(2,0), B(2,2) et C(0,-3),

dans le plan muni d'un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

NB : on choisira de petites unités, par exemple Modèle:Unité pour une feuille A4.

1. Placer le point E défini par : $\overrightarrow{AE}=5\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AC}$

2. Déterminer les coordonnées de E par le calcul.

3. Placer le point F défini par : $\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$

4. Déterminer les coordonnées de F par le calcul.

Alignement

Modèle:Exercices Dans le plan muni d'un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$,

on donne les points $A(3,-1)$ et $C(-1,2)$.

Soient B et D tels que :

$\overrightarrow{OB}=-3\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OD}=-3\overrightarrow{OC}$

1. Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

2. Soit M le milieu de [BD] et N celui de [AC]. Déterminer les coordonnées de M et N.

3. Démontrer qu'O, M et N sont alignés.

Combinaison linéaire

Modèle:Exercices On définit trois vecteurs du plan par leurs coordonnées dans une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

$\overrightarrow{v_1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2})$ $\overrightarrow{v_2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-3}{0})$ $\overrightarrow{v_3}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{-1})$

1. Déterminer les coordonnées de :

$\overrightarrow{w}=3\overrightarrow{v_1}-2\overrightarrow{v_2}+5\overrightarrow{v_3}$

2. $\overrightarrow{v_1}$ peut-il s'écrire sous la forme :

$\overrightarrow{v_1}=x\overrightarrow{v_2}+y\overrightarrow{v_3}$

où x et y sont des nombres réels ?

Alignement et colinéarité

Modèle:Exercices Soit A, B et C trois points non alignés.

1. Construire le point D tel que  :

$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{AB}$

2. Exprimer $\overrightarrow{CD}$ en fonction de $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{AB}$.

3. Démontrer que les points B, C et D sont alignés.

Milieu

Modèle:Exercices Soit A et B deux points distincts, et I le milieu de [AB].

1. Expliquer pourquoi $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ en utilisant les mots norme,direction, sens.

2. En partant de $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$, démontrer que : $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

3. En partant de $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$, démontrer que : $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Trapèze

Modèle:Exercices On considère dans un repère orthonormé les points :

$A(-2;-2);B(0;2);C(3;3)etD(7;1)$

La figure n'est pas exigée, néanmoins il est conseillé de la faire au moins au brouillon.

1. Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.

2. Déterminer le réel $k$ tel que :

$\overrightarrow{AD}=k.\overrightarrow{BC}$.

3. En déduire que le quadrilatère ABCD est non croisé.

4. Démontrer que les segments $[AB]$ et $[CD]$ ont même longueur.

5. Conclure quant à la nature du quadrilatère ABCD en récapitulant les différentes informations.