Manuel de géométrie vectorielle/Barycentre de 3 points pondérés ou plus

Barycentre de trois points pondérés

Définition

Exemple

Soit G le centre de gravité de ABC. G est le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,1);(C,1)}.

Localisation

Soit G le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},\alpha ),(\mathrm{B},\beta ),(\mathrm{C},\gamma )\}$ (avec $\alpha +\beta +\gamma \ne 0$).

On peut trouver l'emplacement de G par les trois formules suivantes :

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{G}}=\frac{\beta \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}}{\alpha +\beta +\gamma }$

$\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{G}}=\frac{\alpha \overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}}{\alpha +\beta +\gamma }$

$\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{G}}=\frac{\alpha \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{B}}}{\alpha +\beta +\gamma }$

Modèle:LienWV

Propriétés

On suppose désormais que le barycentre G du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},\alpha ),(\mathrm{B},\beta ),(\mathrm{C},\gamma )\}$ existe, c'est-à-dire $\alpha +\beta +\gamma =0$

Égalité valable en tout point

Modèle:LienWV

Barycentre de n points pondérés

On peut généraliser les propriétés des barycentres à n points pondérés.

Propriétés

On suppose désormais que le barycentre G du système de points pondérés $\{({\mathrm{A}}_1,{\alpha }_1),({\mathrm{A}}_2,{\alpha }_2),\cdots ,({\mathrm{A}}_n,{\alpha }_n)\}$ existe, c'est-à-dire ${\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n=0$.