Formulaire de physique statistique

Description des systèmes

En situation microcanonique

• Description : l’énergie $E$ et le nombre de particules $N$ sont connus exactement.
• Probabilité microcanonique : $p_i=\frac{1}{\mathrm{\Omega }}$
• Distribution d'une variable interne
• Densité d'états de particules libres
• Densité d'états de particules classiques indépendantes

En situation canonique

• Description : l'énergie $E$ est connue en moyenne et le nombre de particules $N$ est connu exactement.
• Probabilité canonique : $p_i=\frac{1}{Z}{e}^{-\beta E_i}$
• Fonction de partition : $Z=\sum _i{e}^{-\beta E_i}$
• Énergie moyenne : $\overline{E}=-\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }$
• Capacité calorifique
• Entropie canonique : $S=k_B\ln Z-k_B\beta \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }$
• Énergie libre : $F=E-TS$
• Pression canonique : $p={\frac{\partial F}{\partial V}|}_{T,V}$
• Potentiel chimique canonique : $\mu ={\frac{\partial F}{\partial N}|}_{T,V}$
• Distribution d'une variable interne

En situation grand-canonique

• Description : l’énergie $E$ et le nombre de particules $N$ sont connus en moyenne.
• Probabilité grand-canonique : $p_i=\frac{1}{Z}{e}^{-\beta E_i+\alpha N_i}$
• Grande fonction de partition : $Z=\sum _i{e}^{-\beta E_i+\alpha N_i}=\sum _N{e}^{\alpha N_i}{Z}_N$ où $Z_N$ est la fonction de partition canonique du même ensemble avec un nombre fixé $N$ de particules.
• Grand potentiel : $\mathrm{\Phi }=E-TS-\mu N$
• Nombre moyen de particules : $\overline{N}=\frac{\partial \ln Z}{\partial \alpha }$
• Energie moyenne : $\overline{E}=-\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }$
• Pression grand-canonique : $p=-{\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial V}|}_{T,\mu }$
• Entropie grand-canonique : $S=-{\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial T}|}_{V,\mu }$
• Distribution d'une variable interne
• situation des particules

Distributions

De Bose-Einstein

$f_{BE}(ϵ,T)=\frac{1}{\exp \left(\frac{ϵ-\mu (T)}{k_{B}T}\right)-1}$

De Fermi-Dirac

$f_{FD}(ϵ,T)=\frac{1}{\exp \left(\frac{ϵ-\mu (T)}{k_{B}T}\right)+1}$

De Maxwell-Boltzmann

$f_{MB}(ϵ,T)=\exp (-\frac{ϵ-\mu (T)}{k_{B}T})$

Gaz parfait

Gaz parfait de fermions

• Nombre de particules
• Énergie moyenne
• Grand potentiel
• Entropie
• Pression
• Énergie de Fermi
• Énergie cinétique totale
• Propriétés à basses températures
• Propriétés à hautes températures

Gaz parfait de bosons

• Nombre de particules
• Energie moyenne
• Grand potentiel
• Entropie
• Pression
• Température de Bose
• Propriétés à T<Tb
• Propriétés à T>Tb